Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2022

Dados dos sucesos $A$ y $B$, se conocen las probabilidades siguientes: $P(A)=\mathrm{0,7}$, $P(\bar{B})=\mathrm{0,4}$ y $P(\bar{A}\cup \bar{B})=\mathrm{0,58}$, donde $\bar{A}$ y $\bar{B}$ indican los sucesos contrarios (o complementarios) de $A$ y $B$, respectivamente. Calcule las probabilidades siguientes:

a) $P(\bar{A})$, $P(B)$ y $P(A\cap B)$. ¿Son $A$ y $B$ sucesos independientes? [4 puntos]

b) $P(A\cup B)$. [1 punto]

c) $P(B\cap \bar{A})$. [3 puntos]

d) $P(A\mathrm{/}B)$ y $P(\bar{A}\mathrm{/}B)$. [2 puntos]

Las dos primeras salen de los complementarios, y la intersección, de las leyes de De Morgan aplicadas al tercer dato.

$P(\bar{A})=1-P(A)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$

$P(B)=1-P(\bar{B})=1-\mathrm{0,4}=\mathrm{0,6}$

$\bar{A}\cup \bar{B}=\overline{A\cap B}\Rightarrow P(\bar{A}\cup \bar{B})=1-P(A\cap B)$

$\mathrm{0,58}=1-P(A\cap B)\Rightarrow P(A\cap B)=\mathrm{0,42}$

Para decidir la independencia comparamos la intersección con el producto de las probabilidades:

$P(A)\cdot P(B)=\mathrm{0,7}\cdot \mathrm{0,6}=\mathrm{0,42}=P(A\cap B)$

Sí, los sucesos $A$ y $B$ son independientes: que ocurra uno no altera la probabilidad del otro.





Aplicamos la fórmula de la probabilidad de la unión, con todo lo calculado en el apartado anterior.

$P(A\cup B)=P(A)+P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,7}+\mathrm{0,6}-\mathrm{0,42}=\mathrm{0,88}$



Al suceso $B$ se le quita la parte que comparte con $A$.

$P(B\cap \bar{A})=P(B)-P(A\cap B)=\mathrm{0,6}-\mathrm{0,42}=\mathrm{0,18}$

La probabilidad de que ocurra $B$ pero no $A$ es $\mathrm{0,18}$.



Aplicamos la definición de probabilidad condicionada.

$P(A\mathrm{/}B)={\displaystyle \frac{P(A\cap B)}{P(B)}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,42}}{\mathrm{0,6}}}=\mathrm{0,7}$

$P(\bar{A}\mathrm{/}B)=1-P(A\mathrm{/}B)=1-\mathrm{0,7}=\mathrm{0,3}$

Los resultados coinciden con $P(A)$ y $P(\bar{A})$, como tenía que ocurrir por ser los sucesos independientes.