Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2020

Tenemos tres urnas: la primera contiene 2 bolas azules; la segunda, 1 bola azul y 1 roja; la tercera, 2 bolas rojas. Hacemos el experimento aleatorio

«Elegimos una urna al azar y extraemos una bola»

Suponga que todas las urnas tienen la misma probabilidad de ser escogidas.

a) Calcule la probabilidad del suceso $R=$ «bola extraída roja». [5 puntos]

b) Si la bola extraída resulta que es roja, ¿cuál es la probabilidad de que la urna escogida haya sido la tercera? [5 puntos]

Nombramos las urnas $U_1$, $U_2$ y $U_3$ y llamamos $R$ al suceso «la bola extraída es roja». Como las tres urnas son equiprobables, cada una se escoge con probabilidad $\frac{1}{3}$; la primera solo tiene bolas azules y la tercera solo rojas.





El suceso se alcanza por varios caminos del árbol, uno por urna, de modo que aplicamos el teorema de la probabilidad total.

$P(R)=P(U_1)P(R\mathrm{\mid }{U}_1)+P(U_2)P(R\mathrm{\mid }{U}_2)+P(U_3)P(R\mathrm{\mid }{U}_3)$

$P(R)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 0+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 1$

$P(R)={\displaystyle \frac{1}{6}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La probabilidad de extraer una bola roja es ${\displaystyle \frac{1}{2}}$. Era previsible por simetría: entre las tres urnas hay tres bolas rojas y tres azules, y todas las bolas acaban siendo igual de accesibles.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bola}}\mathbf{\text{extra}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{resulta}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{roja,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{urna}}\mathbf{\text{escogida}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{sido}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{tercera?}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se pide invertir el condicionamiento del árbol, así que aplicamos el teorema de Bayes con el resultado anterior.

$P(U_3\mathrm{\mid }R)={\displaystyle \frac{P(U_3)\cdot P(R\mathrm{\mid }{U}_3)}{P(R)}}={\displaystyle \frac{\frac{1}{3}\cdot 1}{\frac{1}{2}}}$

$P(U_3\mathrm{\mid }R)={\displaystyle \frac{1}{3}}\cdot 2={\displaystyle \frac{2}{3}}\approx \mathrm{0,6667}$

Sabiendo que la bola extraída es roja, la probabilidad de que proceda de la tercera urna es ${\displaystyle \frac{2}{3}}$: de las tres bolas rojas del experimento, dos están en esa urna.