Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2025

Se está desarrollando una prueba para detectar una enfermedad rara que afecta al 1 % de la población adulta. Se sabe que la sensibilidad de la prueba (dar positivo cuando la persona está enferma) es del 95 %, y la especificidad de la prueba (dar negativo cuando la persona está sana) es del 98 %. Se selecciona al azar un individuo de la población:

a) Si se somete a la prueba de diagnóstico, calcule la probabilidad de que esté realmente enfermo cuando la prueba da positivo. [1,5 puntos]

b) Si una población de 35 000 individuos se somete a la prueba, ¿podríamos afirmar que se espera que habrá más de 50 personas que estarán enfermas, aun cuando han obtenido un resultado negativo en el test? [1 punto]

Nombrando los sucesos:

$E\equiv$ el individuo está enfermo

$S\equiv$ el individuo está sano

$P\equiv$ la prueba da positivo

$N\equiv$ la prueba da negativo

Del enunciado se leen la prevalencia de la enfermedad, la sensibilidad y la especificidad, y de ellas se deducen las probabilidades complementarias:

$P(E)=\mathrm{0,01},P(S)=\mathrm{0,99}$

$P(P\mathrm{\mid }E)=\mathrm{0,95},P(N\mathrm{\mid }E)=\mathrm{0,05}$

$P(N\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,98},P(P\mathrm{\mid }S)=\mathrm{0,02}$

El árbol del problema es:



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{somete}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{diagn}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{stico,}}\mathbf{\text{calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{realmente}}\mathbf{\text{enfermo}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba}}\mathbf{\text{da}}\mathbf{\text{positivo.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se conoce el resultado de la prueba y se pregunta por el estado del individuo, es decir, se va del efecto a la causa: se aplica el teorema de Bayes. El denominador es la probabilidad total de dar positivo, que reúne las dos ramas del árbol que terminan en $P$.

$P(E\mathrm{\mid }P)={\displaystyle \frac{P(E)\cdot P(P\mathrm{\mid }E)}{P(E)\cdot P(P\mathrm{\mid }E)+P(S)\cdot P(P\mathrm{\mid }S)}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{0,01}\cdot \mathrm{0,95}}{\mathrm{0,01}\cdot \mathrm{0,95}+\mathrm{0,99}\cdot \mathrm{0,02}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0095}}{\mathrm{0,0095}+\mathrm{0,0198}}}$

$={\displaystyle \frac{\mathrm{0,0095}}{\mathrm{0,0293}}}={\displaystyle \frac{95}{293}}\approx \mathrm{0,3242}$

Aunque la prueba parezca muy fiable, solo alrededor de un tercio de los positivos corresponden a personas realmente enfermas: la probabilidad pedida es $\mathrm{0,3242}$, un $\mathrm{32,42}\mathrm{\%}$. La razón es que la enfermedad es rara, de modo que los falsos positivos de la enorme población sana superan en número a los verdaderos positivos.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{000}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{somete}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{prueba,}}\mathbf{\text{¿podr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{amos}}\mathbf{\text{afirmar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{espera}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{estar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{enfermas,}}\mathbf{\text{aun}}\mathbf{\text{cuando}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{obtenido}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{resultado}}\mathbf{\text{negativo}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{test?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Las personas que interesan son las que están enfermas y además dan negativo, es decir, los falsos negativos. Esa es la rama del árbol que baja por $E$ y sigue por $N$.

$P(E\cap N)=P(E)\cdot P(N\mathrm{\mid }E)=\mathrm{0,01}\cdot \mathrm{0,05}=\mathrm{0,0005}$

El número esperado de individuos en esa situación es el producto de esa probabilidad por el tamaño de la población.

$35000\cdot \mathrm{0,0005}=\mathrm{17,5}$

No se puede afirmar: se esperan unos 17 o 18 falsos negativos en la población de 35 000 individuos, bastantes menos de las 50 personas que sugiere el enunciado.