Ejercicio resuelto de Probabilidad · Matemáticas II · 2024

En un avión de pasajeros se han instalado tres paracaídas A, B y C. Si falla A, se pone B en funcionamiento, y si también falla B, se activa el paracaídas C. Las probabilidades de que funcione correctamente cada paracaídas son, respectivamente, 0,96, 0,98 y 0,99.

a) Dibuje un diagrama de árbol que refleje todos los posibles casos. [0,5 puntos]

b) Calcule la probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente. [0,75 puntos]

c) Calcule la probabilidad de que funcione algún paracaídas. [1,25 puntos]

Nombrando los sucesos:

$A\equiv$ el paracaídas A funciona correctamente

$B\equiv$ el paracaídas B funciona correctamente

$C\equiv$ el paracaídas C funciona correctamente

Del enunciado, $P(A)=\mathrm{0,96}$, $P(B)=\mathrm{0,98}$ y $P(C)=\mathrm{0,99}$, y de ahí las probabilidades de fallo:

$P\left(\bar{A}\right)=\mathrm{0,04},P\left(\bar{B}\right)=\mathrm{0,02},P\left(\bar{C}\right)=\mathrm{0,01}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Dibuje}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{diagrama}}\mathbf{\text{de}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rbol}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{refleje}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{posibles}}\mathbf{\text{casos.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Los paracaídas se activan en cadena: B solo entra en juego si A ha fallado, y C solo si han fallado A y B. Cada rama que termina en un paracaídas que funciona cierra el experimento, de modo que las ramas del árbol no tienen todas la misma longitud. Recorriendo cada camino hasta el final y multiplicando las etapas que lo componen, los cuatro casos posibles del salto, con su probabilidad, son:



Las cuatro probabilidades suman 1, como debe ocurrir al recoger todos los casos posibles:

$\mathrm{0,96}+\mathrm{0,0392}+\mathrm{0,000792}+\mathrm{0,000008}=1$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{active}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{paraca}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das}}\mathbf{\text{B}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{funcione}}\mathbf{\text{correctamente.}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que el paracaídas B llegue a activarse exige que antes haya fallado A, y a eso hay que añadir que B funcione. Es, por tanto, el segundo caso del árbol; sus dos etapas son independientes, así que las probabilidades se multiplican.

$P(\bar{A}\cap B)=P\left(\bar{A}\right)\cdot P(B)=\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,98}=\mathrm{0,0392}$

La probabilidad de que se active el paracaídas B y funcione correctamente es $\mathrm{0,0392}$, es decir, un $\mathrm{3,92}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{funcione}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{paraca}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{das.}}\mathbf{\text{[1,25}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Que funcione alguno reúne los tres primeros casos del árbol, así que sale mucho más corto calcular la probabilidad del suceso contrario: que fallen los tres, que es el último caso.

$P(\text{ninguno funciona})=P\left(\bar{A}\right)\cdot P\left(\bar{B}\right)\cdot P\left(\bar{C}\right)=\mathrm{0,04}\cdot \mathrm{0,02}\cdot \mathrm{0,01}=\mathrm{0,000008}$

$P(\text{funciona alguno})=1-P(\text{ninguno funciona})=1-\mathrm{0,000008}=\mathrm{0,999992}$

La probabilidad de que funcione alguno de los tres paracaídas es $\mathrm{0,999992}$, esto es, un $\mathrm{99,9992}\mathrm{\%}$: el sistema en cadena solo falla en ocho de cada millón de saltos.