Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule la integral de la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^4+2x-6}{x^2+x-2}}$. [10 puntos]

Se trata de una función racional cuyo numerador tiene grado mayor que el denominador, de modo que lo primero es efectuar la división para separar la parte entera.

$x^4+2x-6=(x^2+x-2)(x^2-x+3)-3x$

${\displaystyle \frac{x^4+2x-6}{x^2+x-2}}=x^2-x+3+{\displaystyle \frac{-3x}{x^2+x-2}}$

La parte entera se integra directamente. Para el resto descomponemos en fracciones simples, factorizando antes el denominador.

$x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

${\displaystyle \frac{-3x}{(x-1)(x+2)}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{x+2}}$

$-3x=A(x+2)+B(x-1)$

$x=1\Rightarrow -3=3A\Rightarrow A=-1$

$x=-2\Rightarrow 6=-3B\Rightarrow B=-2$

Ya podemos integrar término a término:

$\int f(x)dx=\int (x^2-x+3)dx-\int {\displaystyle \frac{1}{x-1}}dx-\int {\displaystyle \frac{2}{x+2}}dx$

$\int (x^2-x+3)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3x$

$\int {\displaystyle \frac{1}{x-1}}dx=\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid },\int {\displaystyle \frac{2}{x+2}}dx=2\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }$

$\int f(x)dx={\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{x^2}{2}}+3x-\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-2\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C$

Esa es la integral pedida, definida para todo $x$ distinto de $1$ y de $-2$, que son los puntos donde se anula el denominador.