Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Considere la función $f(x)={\displaystyle \frac{3}{x^2-x}}$.

a) Calcule su dominio y los intervalos de crecimiento y decrecimiento. [3 puntos]

b) Calcule una primitiva cualquiera de $f(x)$. [4 puntos]

c) Calcule el área delimitada por la gráfica de la función $y=f(x)$, el eje $OX$ y las rectas $x=2$ y $x=3$. [3 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{dominio}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{intervalos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{crecimiento}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{decrecimiento.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

El dominio lo marcan los ceros del denominador.

$x^2-x=0\Rightarrow x(x-1)=0\Rightarrow x=0,x=1$

$\text{Dom}f=\mathbb{R}-\{0,1\}$

Derivamos con la regla del cociente para estudiar la monotonía:

$f^{\mathrm{\prime }}(x)={\displaystyle \frac{-3(2x-1)}{(x^2-x{)}^2}}={\displaystyle \frac{3(1-2x)}{(x^2-x{)}^2}}$

El denominador es un cuadrado, luego es positivo en todo el dominio, y el signo de la derivada lo marca el numerador:

$3(1-2x)>0\iff x<{\displaystyle \frac{1}{2}}$



La función es creciente en $(-\mathrm{\infty },0)\cup (0,\frac{1}{2})$ y decreciente en $(\frac{1}{2},1)\cup (1,+\mathrm{\infty })$, con un máximo relativo en $x=\frac{1}{2}$, donde vale $f\left(\frac{1}{2}\right)=-12$.



Es una función racional con el denominador factorizado en raíces simples, así que la descomponemos en fracciones simples.

${\displaystyle \frac{3}{x(x-1)}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{B}{x-1}}$

$3=A(x-1)+Bx$

$x=0\Rightarrow 3=-A\Rightarrow A=-3$

$x=1\Rightarrow 3=B$

$\int f(x)dx=\int {\displaystyle \frac{-3}{x}}dx+\int {\displaystyle \frac{3}{x-1}}dx=-3\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+3\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+C$

Una primitiva es, por tanto, $F(x)=3\ln \mid {\displaystyle \frac{x-1}{x}}\mid$.



Comprobamos primero el signo en el intervalo, que además no contiene ninguno de los dos puntos que quedan fuera del dominio.

$2\le x\le 3\Rightarrow x^2-x\ge 2>0\Rightarrow f(x)>0$

El área es, pues, la integral definida sin partirla.

$\mathcal{A}={\int }_2^3{\displaystyle \frac{3}{x^2-x}}dx={[3\ln \mid {\displaystyle \frac{x-1}{x}}\mid ]}_2^3$

$\mathcal{A}=3\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}-3\ln {\displaystyle \frac{1}{2}}=3(\ln {\displaystyle \frac{2}{3}}-\ln {\displaystyle \frac{1}{2}})=3\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}$

$\mathcal{A}=3\ln {\displaystyle \frac{4}{3}}\approx \mathrm{0,863}$

El área pedida es $3\ln \frac{4}{3}\approx \mathrm{0,86}$ unidades de área.