Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Considere las siguientes funciones: $y=3x-x^2$; $y=x-3$

a) Represente el recinto que encierran las dos funciones anteriores. [1,5 puntos]

b) Calcule el área del recinto limitado por las funciones anteriores. [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{encierran}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se estudia primero cada curva por separado y a continuación se calculan sus puntos de corte, que son los que delimitan la región.

La primera, $y=3x-x^2=x(3-x)$, es una parábola con el coeficiente principal negativo, luego sus ramas van hacia abajo. Corta al eje de abscisas donde se anula cada factor:

$x(3-x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}$

$x_V={\displaystyle \frac{-3}{2\cdot (-1)}}={\displaystyle \frac{3}{2}}\Rightarrow V({\displaystyle \frac{3}{2}},{\displaystyle \frac{9}{4}})$

La segunda, $y=x-3$, es una recta que pasa por $(3,0)$ y $(0,-3)$.

Igualamos las dos ecuaciones para hallar los puntos de corte:

$3x-x^2=x-3\Rightarrow x^2-2x-3=0$

$x={\displaystyle \frac{2\pm \sqrt{4+12}}{2}}={\displaystyle \frac{2\pm 4}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=-1\\ x=3\end{array}$

$x=-1\Rightarrow y=-4;x=3\Rightarrow y=0$

Para saber cuál de las dos queda por encima dentro del recinto basta evaluarlas en un punto intermedio:

$\text{Si }x=0:3\cdot 0-0^2=0>0-3=-3$



El recinto está limitado por arriba por la parábola $y=3x-x^2$ y por abajo por la recta $y=x-3$, entre las abscisas $x=-1$ y $x=3$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{recinto}}\mathbf{\text{limitado}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{funciones}}\mathbf{\text{anteriores.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El área se obtiene integrando entre las abscisas de los puntos de corte la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo, y aplicando después la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_{-1}^3[(3x-x^2)-(x-3)]dx={\int }_{-1}^3(-x^2+2x+3)dx$

$={[-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}+x^2+3x]}_{-1}^3$

$=(-9+9+9)-({\displaystyle \frac{1}{3}}+1-3)=9-(-{\displaystyle \frac{5}{3}})={\displaystyle \frac{27+5}{3}}={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$ unidades de área.