Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Dadas las funciones $f(x)=x^2-4x$; $g(x)=4-4x$

a) Esboce el gráfico del recinto limitado por las funciones $f(x)$ y $g(x)$. [1,25 puntos]

b) Determine el área del recinto limitado por las funciones $f(x)$ y $g(x)$. [1,25 puntos]

Se estudia primero cada curva por separado y a continuación se calculan sus puntos de corte, que son los que delimitan la región.

La primera, $f(x)=x^2-4x=x(x-4)$, es una parábola con el coeficiente principal positivo, luego sus ramas van hacia arriba. Corta al eje de abscisas donde se anula cada factor:

$x(x-4)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=4\end{array}$

$x_V={\displaystyle \frac{-(-4)}{2\cdot 1}}=2\Rightarrow V(2,-4)$

La segunda, $g(x)=4-4x$, es una recta que pasa por $(1,0)$ y $(0,4)$.

Igualamos las dos ecuaciones para hallar los puntos de corte:

$x^2-4x=4-4x\Rightarrow x^2=4\Rightarrow x=\pm 2$

$x=-2\Rightarrow y=12;x=2\Rightarrow y=-4$

Para saber cuál de las dos queda por encima dentro del recinto basta evaluarlas en un punto intermedio:

$\text{Si }x=0:0^2-4\cdot 0=0<4-4\cdot 0=4$



El recinto está limitado por arriba por la recta $g(x)=4-4x$ y por abajo por la parábola $f(x)=x^2-4x$, entre las abscisas $x=-2$ y $x=2$.



El área se obtiene integrando entre las abscisas de los puntos de corte la diferencia entre la función que va por arriba y la que va por abajo, y aplicando después la regla de Barrow.

$\mathcal{A}={\int }_{-2}^2[(4-4x)-(x^2-4x)]dx={\int }_{-2}^2(4-x^2)dx$

$={[4x-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_{-2}^2=(8-{\displaystyle \frac{8}{3}})-(-8+{\displaystyle \frac{8}{3}})$

$=16-{\displaystyle \frac{16}{3}}={\displaystyle \frac{48-16}{3}}={\displaystyle \frac{32}{3}}$

El área del recinto es ${\displaystyle \frac{32}{3}}\approx \mathrm{10,67}$ unidades de área.