Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Halle una primitiva $F(x)$ de la función $f(x)=(2x+5)\cdot e^{-2x}$ que cumpla $F(0)=0$. [2 puntos]

Se trata de una integral del tipo polinomio por exponencial, que se resuelve por partes tomando como $u$ el polinomio, para que al derivarlo baje de grado.

$\{\begin{array}{ll}u=2x+5& du=2dx\\ dv=e^{-2x}dx& v=-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x}\end{array}$

${\displaystyle \int (2x+5)e^{-2x}dx=-{\displaystyle \frac{2x+5}{2}}{e}^{-2x}+\int e^{-2x}dx}$

$=-{\displaystyle \frac{2x+5}{2}}{e}^{-2x}-{\displaystyle \frac{1}{2}}{e}^{-2x}+C=-{\displaystyle \frac{2x+6}{2}}{e}^{-2x}+C=-(x+3)e^{-2x}+C$

De todas las primitivas seleccionamos la que cumple la condición $F(0)=0$:

$F(0)=-(0+3)e^0+C=-3+C=0\Rightarrow C=3$

Comprobamos derivando el resultado, aplicando la regla del producto:

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-2x}+2(x+3)e^{-2x}=e^{-2x}(-1+2x+6)=(2x+5)e^{-2x}=f(x)$

La primitiva pedida es $F(x)=-(x+3)e^{-2x}+3$.