Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule la integral ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{17-x}{x^2+x-6}}dx}$. [2 puntos]

El integrando es una función racional cuyo numerador tiene grado menor que el denominador, así que la descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador.

$x^2+x-6=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+24}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 5}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=2\\ x=-3\end{array}$

$x^2+x-6=(x-2)(x+3)$

Las dos raíces son reales y simples, luego

${\displaystyle \frac{17-x}{(x-2)(x+3)}}={\displaystyle \frac{A}{x-2}}+{\displaystyle \frac{B}{x+3}}$

$17-x=A(x+3)+B(x-2)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=2\Rightarrow 15=5A\Rightarrow A=3$

$x=-3\Rightarrow 20=-5B\Rightarrow B=-4$

Integramos término a término; las dos son inmediatas de tipo logarítmico:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{17-x}{x^2+x-6}}dx=\int ({\displaystyle \frac{3}{x-2}}-{\displaystyle \frac{4}{x+3}})dx=3\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-4\ln \mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }+C}$

La integral pedida es $3\ln \mathrm{\mid }x-2\mathrm{\mid }-4\ln \mathrm{\mid }x+3\mathrm{\mid }+C$, que también puede escribirse como $\ln \mid {\displaystyle \frac{(x-2{)}^3}{(x+3{)}^4}}\mid +C$.