Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2022

Calcule la integral ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^3-x}}dx}$. [2 puntos]

El integrando es una función racional con el numerador de grado menor que el denominador, así que la descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador.

$x^3-x=x(x^2-1)=x(x-1)(x+1)$

Las tres raíces son reales y simples, luego la descomposición es

${\displaystyle \frac{1}{x(x-1)(x+1)}}={\displaystyle \frac{A}{x}}+{\displaystyle \frac{B}{x-1}}+{\displaystyle \frac{C}{x+1}}$

$1=A(x-1)(x+1)+Bx(x+1)+Cx(x-1)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=0\Rightarrow 1=A(-1)(1)\Rightarrow A=-1$

$x=1\Rightarrow 1=B\cdot 1\cdot 2\Rightarrow B={\displaystyle \frac{1}{2}}$

$x=-1\Rightarrow 1=C(-1)(-2)\Rightarrow C={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Integramos término a término; las tres son inmediatas de tipo logarítmico:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{1}{x^3-x}}dx=\int ({\displaystyle \frac{-1}{x}}+{\displaystyle \frac{1}{2(x-1)}}+{\displaystyle \frac{1}{2(x+1)}})dx}$

$=-\ln \mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }+{\displaystyle \frac{1}{2}}\ln \mathrm{\mid }x+1\mathrm{\mid }+C$

La integral pedida es la expresión anterior, que agrupando los logaritmos se escribe también como $\ln {\displaystyle \frac{\sqrt{\mid x^2-1\mid }}{\mathrm{\mid }x\mathrm{\mid }}}+C$.