Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Dadas las funciones $f(x)=x^2-4x+1$ y $g(x)=-x+1$, se pide:

a) Represente de forma aproximada la región delimitada por las dos curvas. [0,5 puntos]

b) Calcule el área de dicha región. [1,5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Represente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{forma}}\mathbf{\text{aproximada}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{delimitada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{curvas.}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Buscamos primero los puntos de corte, que son los que cierran la región.

$x^2-4x+1=-x+1\Rightarrow x^2-3x=0\Rightarrow x(x-3)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=3\end{array}$

La primera curva es una parábola con las ramas hacia arriba y vértice en

$x_V={\displaystyle \frac{-(-4)}{2}}=2\Rightarrow V(2,-3)$

y la segunda es una recta de pendiente $-1$. Vemos cuál va por encima evaluando la diferencia en un punto interior:

$(g-f)(1)=0-(-2)=2>0\Rightarrow g\text{ va por encima en }(0,3)$



La región es la comprendida entre la recta, por arriba, y la parábola, por abajo, entre las abscisas $x=0$ y $x=3$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Integramos la diferencia entre la función de arriba y la de abajo, y aplicamos la regla de Barrow.

$A={\displaystyle {\int }_0^3[(-x+1)-(x^2-4x+1)]dx={\int }_0^3(3x-x^2)dx}$

$={[{\displaystyle \frac{3x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^3={\displaystyle \frac{27}{2}}-9={\displaystyle \frac{27-18}{2}}={\displaystyle \frac{9}{2}}$

El área de la región es de $\frac{9}{2}=\mathrm{4,5}$ unidades de área.