Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Halle la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ tal que $f^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=x\cos (x)$ y cuya gráfica pasa por los puntos $(0,{\displaystyle \frac{\pi }{2}})$ y $(\pi ,2\pi )$. [2,5 puntos]

Integrando dos veces la derivada segunda se recupera la función, y en cada integración aparece una constante. Las dos condiciones del enunciado son las que determinan esas dos constantes.

Calculamos $f^{\mathrm{\prime }}(x)$ integrando por partes, con $u=x$ y $dv=\cos (x)dx$:

${\displaystyle \int x\cos (x)dx=x\mathrm{sen}(x)-\int \mathrm{sen}(x)dx=x\mathrm{sen}(x)+\cos (x)}$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=x\mathrm{sen}(x)+\cos (x)+C$

Integramos otra vez, de nuevo por partes en el primer sumando, con $u=x$ y $dv=\mathrm{sen}(x)dx$:

${\displaystyle \int x\mathrm{sen}(x)dx=-x\cos (x)+\int \cos (x)dx=-x\cos (x)+\mathrm{sen}(x)}$

$f(x)=-x\cos (x)+\mathrm{sen}(x)+\mathrm{sen}(x)+Cx+D=-x\cos (x)+2\mathrm{sen}(x)+Cx+D$

Imponemos que la gráfica pase por $(0,\frac{\pi }{2})$:

$f(0)=0+0+0+D={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow D={\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

Imponemos ahora que pase por $(\pi ,2\pi )$:

$f(\pi )=-\pi \cos (\pi )+2\mathrm{sen}(\pi )+C\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=\pi +C\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$

$\pi +C\pi +{\displaystyle \frac{\pi }{2}}=2\pi \Rightarrow C\pi ={\displaystyle \frac{\pi }{2}}\Rightarrow C={\displaystyle \frac{1}{2}}$

La función buscada es $f(x)=-x\cos (x)+2\mathrm{sen}(x)+{\displaystyle \frac{x}{2}}+{\displaystyle \frac{\pi }{2}}$.