Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $f:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$, definida por $f(x)=x\mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }$. Calcule el área del recinto limitado por la gráfica de dicha función y su recta tangente en el punto de abscisa $x=0$. [2,5 puntos]

Empezamos escribiendo la función a trozos según el signo de $x-1$, porque la tangente y las integrales dependen de qué rama se use.

$f(x)=\{\begin{array}{ll}x(1-x)=x-x^2& \text{si }x<1\\ x(x-1)=x^2-x& \text{si }x\ge 1\end{array}$

El punto $x=0$ está en la primera rama, así que la tangente se calcula con ella:

$f(0)=0;f^{\mathrm{\prime }}(x)=1-2x\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(0)=1$

$y-0=1(x-0)\Rightarrow y=x$

Buscamos ahora dónde corta esa recta a la gráfica, resolviendo la igualdad en cada rama. En la primera:

$x-x^2=x\Rightarrow -x^2=0\Rightarrow x=0$

En la segunda:

$x^2-x=x\Rightarrow x^2-2x=0\Rightarrow x(x-2)=0\Rightarrow x=2$

Se descarta $x=0$ en esta segunda rama por no cumplir $x\ge 1$. El recinto queda, pues, entre $x=0$ y $x=2$, y en todo él la recta va por encima de la curva, como se comprueba evaluando en $x=\frac{1}{2}$ y en $x=\frac{3}{2}$:



El área es la integral de la diferencia entre la recta y la función, partida en $x=1$ porque ahí cambia la expresión de $f$.

$\mathcal{A}={\int }_0^1[x-(x-x^2)]dx+{\int }_1^2[x-(x^2-x)]dx$

${\int }_0^1{x}^{2}dx={\left[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}\right]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{3}}$

${\int }_1^2(2x-x^2)dx={[x^2-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_1^2=(4-{\displaystyle \frac{8}{3}})-(1-{\displaystyle \frac{1}{3}})={\displaystyle \frac{2}{3}}$

$\mathcal{A}={\displaystyle \frac{1}{3}}+{\displaystyle \frac{2}{3}}=1$

El área del recinto limitado por la gráfica de $f$ y su tangente en el origen es de $1$ unidad de área.