Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Considere la función $F:\mathbb{R}\to \mathbb{R}$ definida por $F(x)={\displaystyle {\int }_0^x\mathrm{sen}\left(t^2\right)dt}$. Calcule ${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{xF(x)}{\mathrm{sen}\left(x^2\right)}}}$. [2,5 puntos]

El integrando es continuo en todo $\mathbb{R}$, así que por el teorema fundamental del cálculo $F$ es derivable y su derivada es el integrando evaluado en el límite superior. Esto es lo que permite derivar sin calcular la integral, que no tiene primitiva elemental.

$F^{\mathrm{\prime }}(x)=\mathrm{sen}\left(x^2\right);F(0)={\int }_0^0\mathrm{sen}\left(t^2\right)dt=0$

Sustituyendo directamente aparece la indeterminación $\frac{0}{0}$, y aplicamos la regla de L'Hôpital derivando numerador y denominador. En el numerador hay que usar la regla del producto.

${\displaystyle \underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{xF(x)}{\mathrm{sen}\left(x^2\right)}}=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{F(x)+x{F}^{\mathrm{\prime }}(x)}{2x\cos \left(x^2\right)}}=\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{F(x)+x\mathrm{sen}\left(x^2\right)}{2x\cos \left(x^2\right)}}}$

De nuevo el numerador y el denominador tienden a $0$, así que volvemos a aplicar L'Hôpital:

${\displaystyle =\underset{x\to 0}{\lim }{\displaystyle \frac{\mathrm{sen}\left(x^2\right)+\mathrm{sen}\left(x^2\right)+2x^2\cos \left(x^2\right)}{2\cos \left(x^2\right)-4x^2\mathrm{sen}\left(x^2\right)}}}$

Ahora el denominador ya no se anula, y basta sustituir:

$={\displaystyle \frac{0+0+0}{2\cdot 1-0}}={\displaystyle \frac{0}{2}}=0$

El límite pedido vale $0$. El resultado es coherente con el orden de los infinitésimos: cerca del origen $F(x)\approx \frac{x^3}{3}$ y $\mathrm{sen}(x^2)\approx x^2$, de modo que el cociente se comporta como $\frac{x^2}{3}$.