Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule $a$ con $0<a<1$, tal que ${\displaystyle {\int }_a^1{\displaystyle \frac{\ln (x)}{x}}dx+2=0}$ ($\ln$ denota la función logaritmo neperiano). [2,5 puntos]

El integrando tiene la forma de una función por su derivada, pues la derivada de $\ln (x)$ es $\frac{1}{x}$. La integral es, por tanto, inmediata con el cambio $t=\ln (x)$.

$\{\begin{array}{l}t=\ln (x)\\ dt={\displaystyle \frac{1}{x}}dx\end{array}$

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{\ln (x)}{x}}dx=\int tdt={\displaystyle \frac{t^2}{2}}+C={\displaystyle \frac{{(\ln (x))}^2}{2}}+C}$

Aplicamos la regla de Barrow entre $a$ y $1$:

${\displaystyle {\int }_a^1{\displaystyle \frac{\ln (x)}{x}}dx={\left[{\displaystyle \frac{{(\ln (x))}^2}{2}}\right]}_a^1={\displaystyle \frac{{(\ln 1)}^2}{2}}-{\displaystyle \frac{{(\ln (a))}^2}{2}}=-{\displaystyle \frac{{(\ln (a))}^2}{2}}}$

Imponemos ahora la condición del enunciado:

$-{\displaystyle \frac{{(\ln (a))}^2}{2}}+2=0\Rightarrow {(\ln (a))}^2=4$

$\ln (a)=\pm 2\Rightarrow \{\begin{array}{l}a=e^2\\ a=e^{-2}\end{array}$

Se descarta $a=e^2\approx \mathrm{7,39}$ por no cumplir la condición $0<a<1$ que impone el enunciado.

El valor buscado es $a=e^{-2}={\displaystyle \frac{1}{e^2}}\approx \mathrm{0,1353}$.