Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2024

Halle ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^x\cos (x)dx}$. [2,5 puntos]

El integrando es producto de una exponencial por una función trigonométrica. Se resuelve integrando por partes dos veces: la segunda hace reaparecer la integral de partida, y de la igualdad resultante se despeja.

Llamamos $I={\displaystyle \int e^x\cos (x)dx}$ y tomamos $u=\cos (x)$, $dv=e^{x}dx$:

$\{\begin{array}{ll}u=\cos (x)& du=-\mathrm{sen}(x)dx\\ dv=e^{x}dx& v=e^x\end{array}$

$I=e^x\cos (x)+{\displaystyle \int e^x\mathrm{sen}(x)dx}$

Aplicamos partes de nuevo a esta última integral, ahora con $u=\mathrm{sen}(x)$:

$\{\begin{array}{ll}u=\mathrm{sen}(x)& du=\cos (x)dx\\ dv=e^{x}dx& v=e^x\end{array}$

${\displaystyle \int e^x\mathrm{sen}(x)dx=e^x\mathrm{sen}(x)-\int e^x\cos (x)dx=e^x\mathrm{sen}(x)-I}$

Sustituimos y despejamos $I$:

$I=e^x\cos (x)+e^x\mathrm{sen}(x)-I\Rightarrow 2I=e^x(\cos (x)+\mathrm{sen}(x))$

$I={\displaystyle \frac{e^x(\cos (x)+\mathrm{sen}(x))}{2}}$

Aplicando ahora la regla de Barrow entre $0$ y $\frac{\pi }{2}$:

${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}{e}^x\cos (x)dx={\left[{\displaystyle \frac{e^x(\cos (x)+\mathrm{sen}(x))}{2}}\right]}_0^{\pi \mathrm{/}2}}$

$={\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}(0+1)}{2}}-{\displaystyle \frac{e^0(1+0)}{2}}={\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}{2}}$

El valor de la integral es ${\displaystyle \frac{e^{\pi \mathrm{/}2}-1}{2}}\approx \mathrm{1,9052}$.