Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Resuelva la integral ${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-x+7}{x^2+x-2}}dx}$. [2 puntos]

El integrando es una función racional con el numerador de grado menor que el denominador, de modo que la descomponemos en fracciones simples. Factorizamos primero el denominador.

$x^2+x-2=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{-1\pm \sqrt{1+8}}{2}}={\displaystyle \frac{-1\pm 3}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=1\\ x=-2\end{array}$

$x^2+x-2=(x-1)(x+2)$

Las dos raíces son reales y simples, luego

${\displaystyle \frac{-x+7}{(x-1)(x+2)}}={\displaystyle \frac{A}{x-1}}+{\displaystyle \frac{B}{x+2}}$

$-x+7=A(x+2)+B(x-1)$

Damos a $x$ los valores que anulan cada factor:

$x=1\Rightarrow 6=3A\Rightarrow A=2$

$x=-2\Rightarrow 9=-3B\Rightarrow B=-3$

Integramos término a término; las dos son inmediatas de tipo logarítmico:

${\displaystyle \int {\displaystyle \frac{-x+7}{x^2+x-2}}dx=\int ({\displaystyle \frac{2}{x-1}}-{\displaystyle \frac{3}{x+2}})dx=2\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-3\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C}$

La integral pedida es $2\ln \mathrm{\mid }x-1\mathrm{\mid }-3\ln \mathrm{\mid }x+2\mathrm{\mid }+C$, que agrupando los logaritmos se escribe también como $\ln \mid {\displaystyle \frac{(x-1{)}^2}{(x+2{)}^3}}\mid +C$.