Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Dadas las funciones $f(x)=3x-x^2$ y $g(x)=x^2-2x$, calcule el área de la región limitada por sus gráficas. [2 puntos]

Buscamos primero los puntos de corte de las dos parábolas, que son los límites de integración, y después integramos la diferencia entre la que va por arriba y la que va por abajo.

$f(x)=g(x)\Rightarrow 3x-x^2=x^2-2x\Rightarrow -2x^2+5x=0$

$x(5-2x)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x={\displaystyle \frac{5}{2}}\end{array}$

Solo hay dos cortes, así que el recinto es de una pieza. Vemos cuál va por encima evaluando la diferencia en un punto interior:

$(f-g)(1)=(3-1)-(1-2)=2+1=3>0\Rightarrow f\text{ va por encima}$



Integramos la diferencia y aplicamos la regla de Barrow:

$A={\displaystyle {\int }_0^{5\mathrm{/}2}(5x-2x^2)dx={[{\displaystyle \frac{5x^2}{2}}-{\displaystyle \frac{2x^3}{3}}]}_0^{5\mathrm{/}2}}$

$={\displaystyle \frac{5}{2}}\cdot {\displaystyle \frac{25}{4}}-{\displaystyle \frac{2}{3}}\cdot {\displaystyle \frac{125}{8}}={\displaystyle \frac{125}{8}}-{\displaystyle \frac{125}{12}}$

$={\displaystyle \frac{375-250}{24}}={\displaystyle \frac{125}{24}}{\text{u}}^2$

El área de la región limitada por las dos parábolas es de $\frac{125}{24}\approx \mathrm{5,2083}$ unidades de área.