Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2021

Sean las funciones $f(x)=x^2$ y $g(x)=\sqrt{x}$.

a) Represente la región plana delimitada por las gráficas de las funciones $f(x)$ y $g(x)$ en el intervalo $[0,2]$. [0,5 puntos]

b) Calcule el área de la región anterior. [1,5 puntos]

Buscamos primero los puntos de corte de las dos gráficas, porque son los que separan los trozos de la región.

$x^2=\sqrt{x}\Rightarrow x^4=x\Rightarrow x(x^3-1)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\end{array}$

Dentro de $[0,2]$ hay, pues, dos cortes, y el segundo trozo se cierra en el extremo $x=2$. Vemos cuál de las dos gráficas queda por encima en cada tramo:

$(g-f)\left(\frac{1}{4}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}}-{\displaystyle \frac{1}{16}}>0\Rightarrow g\text{ va por encima en }(0,1)$

$(g-f)\left(\frac{3}{2}\right)=\mathrm{1,2247}-\mathrm{2,25}<0\Rightarrow f\text{ va por encima en }(1,2)$



La región es la comprendida entre las dos curvas: hasta $x=1$ va por arriba la raíz y desde ahí la parábola.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{el}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{rea}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{regi}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{anterior.}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Integramos en cada tramo la diferencia entre la función de arriba y la de abajo, y aplicamos la regla de Barrow.

$A_1={\displaystyle {\int }_0^1(\sqrt{x}-x^2)dx={[{\displaystyle \frac{2x^{3\mathrm{/}2}}{3}}-{\displaystyle \frac{x^3}{3}}]}_0^1={\displaystyle \frac{2}{3}}-{\displaystyle \frac{1}{3}}={\displaystyle \frac{1}{3}}}$

$A_2={\displaystyle {\int }_1^2(x^2-\sqrt{x})dx={[{\displaystyle \frac{x^3}{3}}-{\displaystyle \frac{2x^{3\mathrm{/}2}}{3}}]}_1^2=({\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}})-({\displaystyle \frac{1}{3}}-{\displaystyle \frac{2}{3}})}$

$A_2={\displaystyle \frac{8}{3}}-{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}+{\displaystyle \frac{1}{3}}=3-{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{1,1144}$

$A=A_1+A_2={\displaystyle \frac{1}{3}}+3-{\displaystyle \frac{4\sqrt{2}}{3}}={\displaystyle \frac{10-4\sqrt{2}}{3}}\approx \mathrm{1,4477}{\text{u}}^2$

El área de la región es de $\frac{10-4\sqrt{2}}{3}\approx \mathrm{1,4477}$ unidades de área.