Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2023

Calcule el área de la región encerrada por las gráficas de las funciones $f(x)=x^3-3x^2+3x$ y $g(x)=x$. [2 puntos]

Buscamos primero los puntos de corte de las dos gráficas, que son los límites de integración, y después integramos en cada tramo la diferencia entre la función de arriba y la de abajo.

$f(x)=g(x)\Rightarrow x^3-3x^2+3x=x\Rightarrow x^3-3x^2+2x=0$

$x(x^2-3x+2)=0\Rightarrow x(x-1)(x-2)=0\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ x=1\\ x=2\end{array}$

El recinto tiene dos trozos. Vemos cuál de las dos gráficas queda por encima en cada uno evaluando la diferencia en un punto interior:

$(f-g)\left(\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}(-\frac{1}{2})(-\frac{3}{2})=\mathrm{0,375}>0\Rightarrow f\text{ va por encima en }(0,1)$

$(f-g)\left(\frac{3}{2}\right)=\frac{3}{2}\cdot \frac{1}{2}\cdot (-\frac{1}{2})=-\mathrm{0,375}<0\Rightarrow g\text{ va por encima en }(1,2)$



Calculamos cada trozo y aplicamos la regla de Barrow:

$A_1={\displaystyle {\int }_0^1(x^3-3x^2+2x)dx={[{\displaystyle \frac{x^4}{4}}-x^3+x^2]}_0^1={\displaystyle \frac{1}{4}}-1+1={\displaystyle \frac{1}{4}}}$

$A_2={\displaystyle {\int }_1^2(-x^3+3x^2-2x)dx={[-{\displaystyle \frac{x^4}{4}}+x^3-x^2]}_1^2=(-4+8-4)-(-{\displaystyle \frac{1}{4}}+1-1)={\displaystyle \frac{1}{4}}}$

$A=A_1+A_2={\displaystyle \frac{1}{4}}+{\displaystyle \frac{1}{4}}={\displaystyle \frac{1}{2}}{\text{u}}^2$

El área de la región encerrada por las dos gráficas es de media unidad de área.