Ejercicio resuelto de Integrales y Áreas · Matemáticas II · 2020

Responda razonadamente a las siguientes cuestiones:

a) Calcule ${\displaystyle {\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}x\cos xdx}$. [1,25 puntos]

b) Halle las asíntotas de la función $f(x)={\displaystyle \frac{x^3+5x^2}{x^2-1}}$. [1,25 puntos]

El integrando es el producto de un polinomio por una función trigonométrica, así que se integra por partes tomando como $u$ el polinomio, que al derivar baja de grado.

$\{\begin{array}{l}u=x\Rightarrow du=dx\\ dv=\cos xdx\Rightarrow v=\mathrm{sen}x\end{array}$

$\int x\cos xdx=x\mathrm{sen}x-\int \mathrm{sen}xdx=x\mathrm{sen}x+\cos x+C$

Aplicando la regla de Barrow:

${\int }_0^{\pi \mathrm{/}2}x\cos xdx={[x\mathrm{sen}x+\cos x]}_0^{\pi \mathrm{/}2}$

$=({\displaystyle \frac{\pi }{2}}\cdot 1+0)-(0\cdot 0+1)={\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1\approx \mathrm{0,5708}$

El valor de la integral es ${\displaystyle \frac{\pi }{2}}-1\approx \mathrm{0,5708}$.



Asíntotas verticales. Las candidatas son los valores que anulan el denominador, $x^2-1=0\Rightarrow x=\pm 1$, y en ninguno de los dos se anula el numerador.

${\lim }_{x\to 1^{-}}{\displaystyle \frac{x^3+5x^2}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{6}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to 1^{+}}{\displaystyle \frac{x^3+5x^2}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{6}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty }$

${\lim }_{x\to -1^{-}}{\displaystyle \frac{x^3+5x^2}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{4}{0^{+}}}=+\mathrm{\infty },{\lim }_{x\to -1^{+}}{\displaystyle \frac{x^3+5x^2}{x^2-1}}={\displaystyle \frac{4}{0^{-}}}=-\mathrm{\infty }$

—a la izquierda de $-1$ se cumple $x^2>1$ y el denominador es positivo; a la derecha, $x^2<1$ y es negativo—.

$\Rightarrow x=-1\text{ y }x=1\text{son as}\acute{\text{ı}}\text{ntotas verticales}$

Asíntotas horizontales. El grado del numerador supera al del denominador, de modo que el límite es infinito y no hay asíntota horizontal; como la diferencia de grados es exactamente 1, sí habrá oblicua.

Asíntota oblicua $y=mx+n$.

$m={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{f(x)}{x}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3+5x^2}{x^3-x}}=1$

$n={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}[f(x)-x]={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{x^3+5x^2-x(x^2-1)}{x^2-1}}={\lim }_{x\to \pm \mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{5x^2+x}{x^2-1}}=5$

El mismo resultado se obtiene efectuando la división de los polinomios, que deja el cociente y un resto que tiende a cero:

${\displaystyle \frac{x^3+5x^2}{x^2-1}}=x+5+{\displaystyle \frac{x+5}{x^2-1}}$

La función tiene dos asíntotas verticales, $x=-1$ y $x=1$, y una asíntota oblicua, $y=x+5$; no tiene asíntota horizontal.