Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2023

La reproducción de un insecto a lo largo del tiempo sigue la función $f(x)=e^{-x}(2x+1)$, siendo $x\ge 0$ el tiempo en meses y $f(x)$ el número de insectos en millones.

a) ¿Cuántos millones de insectos había en el instante inicial? ¿Hacia dónde tiende la cantidad de insectos a lo largo de los años? Interprete los resultados. [4 puntos]

b) ¿Cuál es el número máximo de insectos que llega a haber? ¿En qué instante de tiempo se alcanza ese valor? [4 puntos]

c) ¿Hay algún momento en que la población supere los 2 millones de insectos? Justifique la respuesta. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{millones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{insectos}}\mathbf{\text{hab}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{inicial?}}\mathbf{\text{¿Hacia}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{nde}}\mathbf{\text{tiende}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{insectos}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{lo}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os?}}\mathbf{\text{Interprete}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{resultados.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

La población inicial es el valor de la función en $x=0$, y el comportamiento a largo plazo, su límite en el infinito.

$f(0)=e^0(2\cdot 0+1)=1\cdot 1=1$

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{e}^{-x}(2x+1)=(0)\cdot (+\mathrm{\infty })$

Aparece una indeterminación, que deshacemos escribiendo la exponencial en el denominador y aplicando la regla de L'Hôpital:

${\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2x+1}{e^x}}={\displaystyle \frac{+\mathrm{\infty }}{+\mathrm{\infty }}}={\lim }_{x\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{2}{e^x}}=0$

Inicialmente había 1 millón de insectos. A largo plazo la población tiende a cero: la exponencial decreciente domina al crecimiento lineal del paréntesis, de modo que la especie acaba extinguiéndose.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{insectos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{haber?}}\mathbf{\text{¿En}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{instante}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{alcanza}}\mathbf{\text{ese}}\mathbf{\text{valor?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Buscamos el máximo entre los puntos que anulan la derivada, que calculamos con la regla del producto.

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=-e^{-x}(2x+1)+e^{-x}\cdot 2=e^{-x}(-2x-1+2)=e^{-x}(1-2x)$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow e^{-x}(1-2x)=0$

La exponencial no se anula nunca, así que el único punto crítico sale del paréntesis:

$1-2x=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{1}{2}}$

Como $e^{-x}>0$, el signo de la derivada es el de $1-2x$: positivo antes de $x=\frac{1}{2}$ y negativo después. La función pasa de creciente a decreciente, luego ahí hay un máximo, que por ser el único es absoluto.

$f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)=e^{-1\mathrm{/}2}(2\cdot {\displaystyle \frac{1}{2}}+1)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{e}}}\approx \mathrm{1,2131}$

El número máximo de insectos es de aproximadamente $\mathrm{1,21}$ millones, y se alcanza al cabo de medio mes.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{¿Hay}}\mathbf{\text{alg}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{momento}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{supere}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{2}}\mathbf{\text{millones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{insectos?}}\mathbf{\text{Justifique}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{respuesta.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Basta comparar los 2 millones con el máximo absoluto calculado en el apartado anterior: si el mayor valor que alcanza la función se queda por debajo, la población nunca los supera.

$f(x)\le f\left({\displaystyle \frac{1}{2}}\right)={\displaystyle \frac{2}{\sqrt{e}}}\approx \mathrm{1,2131}<2\mathrm{\forall }x\ge 0$

No, no hay ningún momento en que la población supere los 2 millones: el máximo que llega a alcanzar es de 1,21 millones.