Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2021

Se desea construir una caja sin tapa superior, como la de la primera figura. Para ello, se usa una lámina de cartón de 15 cm de ancho por 24 cm de largo, doblándola convenientemente después de recortar un cuadrado de iguales dimensiones en cada una de sus esquinas, tal y como muestra la segunda figura. Se determina como requisito que la caja a construir contenga el mayor volumen posible. Indique cuáles son las dimensiones de la caja y su volumen máximo. [2,5 puntos]

Es un problema de optimización con soporte geométrico. Llamamos $x$ al lado, en centímetros, de los cuatro cuadrados que se recortan en las esquinas. Al doblar las pestañas, ese lado pasa a ser la altura de la caja, y la base queda con las dimensiones de la lámina reducidas en $2x$ por cada dirección.



$\text{largo}=24-2x,\text{ancho}=15-2x,\text{altura}=x$

Las tres medidas han de ser positivas, lo que acota la variable: de $15-2x>0$ se obtiene $x<\mathrm{7,5}$.

$V(x)=x(24-2x)(15-2x),0<x<\mathrm{7,5}$

$V(x)=x(4x^2-78x+360)=4x^3-78x^2+360x$

Buscamos los puntos críticos igualando la derivada a cero.

$V^{\mathrm{\prime }}(x)=12x^2-156x+360=12(x^2-13x+30)$

$x^2-13x+30=0\Rightarrow x={\displaystyle \frac{13\pm \sqrt{169-120}}{2}}={\displaystyle \frac{13\pm 7}{2}}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=3\\ x=10\end{array}$

Se descarta $x=10$ porque queda fuera del dominio: con ese recorte el ancho de la base sería negativo. Para confirmar que en $x=3$ hay un máximo estudiamos el signo de la segunda derivada.

$V^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=24x-156\Rightarrow V^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(3)=72-156=-84<0\Rightarrow \text{m}\acute{\text{a}}\text{ximo}$

Como es el único extremo dentro del dominio, ese máximo relativo es también el absoluto.

$\text{largo}=24-6=18,\text{ancho}=15-6=9,\text{altura}=3$

$V(3)=3\cdot 18\cdot 9=486$

Para que la caja tenga el mayor volumen posible hay que recortar cuadrados de 3 cm de lado. La caja resultante mide $18\times 9\times 3$ centímetros y su volumen es de $486{\text{cm}}^3$.