Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2020

a) [1,5 puntos] Calcule las dimensiones de una caja de base cuadrada (prisma cuadrangular) sin tapa superior y con un volumen de $108{\text{dm}}^3$ para que la superficie total de la caja (formada por las caras laterales y la base) sea mínima.

b) [1 punto] Calcule la ecuación de la recta tangente a la gráfica de la función $f(x)=x^2+x-1$ en el punto de abscisa $x=1$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dimensiones}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{base}}\mathbf{\text{cuadrada}}\mathbf{\text{(prisma}}\mathbf{\text{cuadrangular)}}\mathbf{\text{sin}}\mathbf{\text{tapa}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{volumen}}\mathbf{\text{de}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">108</mn><mtext> </mtext><msup><mtext>dm</mtext><mn\; mathvariant="bold">3</mn></msup></mrow>}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{caja}}\mathbf{\text{(formada}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{caras}}\mathbf{\text{laterales}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{base)}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima.}}$











Llamamos $x$ al lado de la base cuadrada e $y$ a la altura. Al no haber tapa, la superficie la forman la base y las cuatro caras laterales.

$S=x^2+4xy$

El dato del volumen relaciona las dos variables y permite dejar la superficie en función de una sola.

$V=x^{2}y=108\Rightarrow y={\displaystyle \frac{108}{x^2}}$





$S(x)=x^2+4x\cdot {\displaystyle \frac{108}{x^2}}=x^2+{\displaystyle \frac{432}{x}},x>0$

Buscamos el mínimo anulando la derivada primera.

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=2x-{\displaystyle \frac{432}{x^2}}$

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 2x={\displaystyle \frac{432}{x^2}}\Rightarrow x^3=216\Rightarrow x=6$

Comprobamos con la derivada segunda que es un mínimo.

$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=2+{\displaystyle \frac{864}{x^3}}\Rightarrow S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(6)=2+4=6>0$

Es el único extremo del dominio $x>0$, con la función decreciente a su izquierda y creciente a su derecha, de modo que el mínimo relativo es también el absoluto. La altura correspondiente es

$y={\displaystyle \frac{108}{6^2}}={\displaystyle \frac{108}{36}}=3$

Las dimensiones que hacen mínima la superficie son una base cuadrada de $6\text{ dm}$ de lado y una altura de $3\text{ dm}$; la superficie resultante es $S(6)=36+72=108{\text{dm}}^2$.



Necesitamos la ordenada del punto y la pendiente, que es el valor de la derivada.

$f(1)=1+1-1=1$

$f^{\mathrm{\prime }}(x)=2x+1\Rightarrow f^{\mathrm{\prime }}(1)=3$

Aplicamos la ecuación punto-pendiente de la recta tangente.

$y-1=3(x-1)\Rightarrow y=3x-2$

La recta tangente en el punto de abscisa $x=1$ es $y=3x-2$.