Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2024

Con el objetivo de reducir el coste, una cooperativa de aceite quiere diseñar unos envases con forma de prisma de base cuadrada con un volumen de $1{\text{dm}}^3$ (tal como se muestra en la figura adjunta) pero que tengan la mínima superficie.



a) [1 punto] Determine la función de la superficie del envase en función de $x$ (incluidas las dos bases).

b) [1 punto] Calcule, razonadamente, los valores de $x$ e $y$, para que la superficie sea mínima.

c) [0,5 puntos] Con los datos obtenidos en los apartados anteriores, determine la superficie de cada envase y su coste, sabiendo que el material tiene un precio de 5 euros el ${\text{dm}}^2$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{envase}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{funci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{(incluidas}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{dos}}\mathbf{\text{bases).}}$

El envase es un prisma recto de base cuadrada de lado $x$ y altura $y$. Su superficie total la forman las dos bases cuadradas y las cuatro caras laterales rectangulares.

$S=2x^2+4xy$

Para dejar la superficie en función de una sola variable usamos el dato del volumen, que relaciona $x$ e $y$.

$V=x^{2}y=1\Rightarrow y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}$

$S(x)=2x^2+4x\cdot {\displaystyle \frac{1}{x^2}}=2x^2+{\displaystyle \frac{4}{x}},x>0$

La superficie del envase en función del lado de la base es $S(x)=2x^2+{\displaystyle \frac{4}{x}}{\text{dm}}^2$, definida para $x>0$ porque $x$ es la medida de un lado.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}\mathbf{\text{Calcule,}}\mathbf{\text{razonadamente,}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{valores}}\mathbf{\text{de}}\mathit{x}\mathbf{\text{e}}\mathit{y}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima.}}$

Buscamos el mínimo de $S(x)$ anulando su derivada primera.

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=4x-{\displaystyle \frac{4}{x^2}}$

$S^{\mathrm{\prime }}(x)=0\Rightarrow 4x={\displaystyle \frac{4}{x^2}}\Rightarrow x^3=1\Rightarrow x=1$

Comprobamos con la derivada segunda que ese punto crítico es un mínimo.

$S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(x)=4+{\displaystyle \frac{8}{x^3}}\Rightarrow S^{\mathrm{\prime }\mathrm{\prime }}(1)=4+8=12>0$

Como es el único extremo del dominio $x>0$ y la función decrece a su izquierda y crece a su derecha, el mínimo relativo es también el absoluto. La altura correspondiente es

$y={\displaystyle \frac{1}{x^2}}={\displaystyle \frac{1}{1^2}}=1$

La superficie es mínima cuando el envase es un cubo de $1\text{ dm}$ de arista: $x=1\text{ dm}$ e $y=1\text{ dm}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{puntos]}}\mathbf{\text{Con}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{datos}}\mathbf{\text{obtenidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{apartados}}\mathbf{\text{anteriores,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{superficie}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{cada}}\mathbf{\text{envase}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{coste,}}\mathbf{\text{sabiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{material}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{precio}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{el}}\mathrm{<msup><mtext>dm</mtext><mn\; mathvariant="bold">2</mn></msup>}\mathbf{\text{.}}$

Basta evaluar la función superficie en el valor hallado y multiplicar por el precio del material.

$S(1)=2\cdot 1^2+{\displaystyle \frac{4}{1}}=6{\text{dm}}^2$

$\text{Coste}=6{\text{dm}}^2\cdot 5{\text{€/dm}}^2=30\text{ €}$

Cada envase tiene una superficie de $6{\text{dm}}^2$ y cuesta $30$ euros.