Ejercicio resuelto de Optimización · Matemáticas II · 2020

En un acuario, el estudio de la evolución de la población de peces se ha modelado según la función $t\to P(t)$,

$P(t)=\sqrt{t+1}-\sqrt{t},$

donde la variable $t$, que es un número real mayor o igual que cero, mide el número de años transcurridos desde el 1 de enero del año 2000, y $P(t)$ indica el número de individuos, en miles, en el instante de tiempo $t$. Según el modelo, calcule:

a) La población que había el 1 de enero del año 2000 y la población que habrá al final del año 2020. [1 punto]

b) El tamaño de la población (en número de individuos) a largo plazo. [3 puntos]

c) El año en el cual se llega a la población mínima y cuántos individuos habrá. [4 puntos]

d) Haga un esbozo de la gráfica de la evolución poblacional $t\to P(t)$. [2 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{hab}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{1}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{enero}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{2000}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{final}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{2020.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El 1 de enero de 2000 corresponde a $t=0$, y el final del año 2020, a $t=21$ años transcurridos.

$P(0)=\sqrt{0+1}-\sqrt{0}=1$

$P(21)=\sqrt{22}-\sqrt{21}\approx \mathrm{4,6904}-\mathrm{4,5826}=\mathrm{0,1078}$

El 1 de enero del año 2000 había 1000 individuos y al final de 2020 quedan unos 108.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{(en}}\mathbf{\text{n}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{mero}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{individuos)}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{largo}}\mathbf{\text{plazo.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Hay que calcular el límite en el infinito. Al sustituir aparece una indeterminación del tipo $\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$, que se deshace multiplicando y dividiendo por el conjugado.

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}(\sqrt{t+1}-\sqrt{t})=\mathrm{\infty }-\mathrm{\infty }$

$\sqrt{t+1}-\sqrt{t}={\displaystyle \frac{(\sqrt{t+1}-\sqrt{t})(\sqrt{t+1}+\sqrt{t})}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}}={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}}$

${\lim }_{t\to +\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{t+1}+\sqrt{t}}}={\displaystyle \frac{1}{+\mathrm{\infty }}}=0$

A largo plazo la población tiende a cero: según el modelo, la especie se extingue.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{cual}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{llega}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{poblaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{nima}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{individuos}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Buscamos los puntos que anulan la derivada.

$P^{\mathrm{\prime }}(t)={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t+1}}}-{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t}}}$

$P^{\mathrm{\prime }}(t)=0\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t+1}}}={\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t}}}\Rightarrow \sqrt{t+1}=\sqrt{t}\Rightarrow 1=0$

La ecuación no tiene solución, de modo que no hay ningún punto crítico. Estudiamos entonces el signo de la derivada:

$t<t+1\Rightarrow \sqrt{t}<\sqrt{t+1}\Rightarrow {\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t+1}}}<{\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{t}}}\Rightarrow P^{\mathrm{\prime }}(t)<0\mathrm{\forall }t>0$

La función es estrictamente decreciente en todo su dominio y, por el apartado anterior, tiende a cero sin llegar a alcanzarlo.

No existe, por tanto, ningún año en el que se llegue a una población mínima: la población disminuye sin parar y se acerca indefinidamente a cero, pero nunca lo alcanza ni llega a un valor más bajo que todos los demás. El valor máximo se da al principio, en el año 2000, con 1000 individuos.



Con lo obtenido, la curva arranca en $(0,1)$, decrece siempre y se aplana acercándose al eje de abscisas, que es asíntota horizontal.