Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

a) En un examen de tecnología, ¿cuál es la probabilidad de sacar una nota entre 5 y 7 si se sabe que las notas siguen una distribución normal de media 6 y desviación típica 2? [5 puntos]

b) En un examen de filosofía, el 35 % de los alumnos presentados obtuvo una nota mayor que 6, mientras que el 51 % obtuvo una menor que 4. Suponiendo que las notas siguen una distribución normal, determine cuál es su media $\mu$ y su desviación típica $\sigma$. [5 puntos]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tecnolog}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sacar}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{sabe}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{notas}}\mathbf{\text{siguen}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{2?}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $X$ a la nota del examen de tecnología, que sigue una $N(6;2)$. Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla.

$Z={\displaystyle \frac{X-6}{2}}\sim N(0,1)$

$P(5<X<7)=P({\displaystyle \frac{5-6}{2}}<Z<{\displaystyle \frac{7-6}{2}})=P(-\mathrm{0,5}<Z<\mathrm{0,5})$

Los dos extremos son opuestos, así que el intervalo está centrado en la media y podemos usar la simetría de la campana:

$P(-\mathrm{0,5}<Z<\mathrm{0,5})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,5})-1=2\cdot \mathrm{0,6915}-1=\mathrm{0,3830}$

La probabilidad de sacar una nota entre 5 y 7 es $\mathrm{0,3830}$, es decir, un $\mathrm{38,30}\mathrm{\%}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{En}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{examen}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{filosof}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{35}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{alumnos}}\mathbf{\text{presentados}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{nota}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{6,}}\mathbf{\text{mientras}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{51}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{obtuvo}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{4.}}\mathbf{\text{Suponiendo}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{notas}}\mathbf{\text{siguen}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal,}}\mathbf{\text{determine}}\mathbf{\text{cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{media}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathit{\sigma }\mathbf{\text{.}}\mathbf{\text{[5}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Llamamos $Y$ a la nota de filosofía, con $Y\sim N(\mu ,\sigma )$. Cada dato, una vez tipificado, da una ecuación con las dos incógnitas.

$P(Y>6)=\mathrm{0,35}\Rightarrow P(Y<6)=\mathrm{0,65}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{6-\mu }{\sigma }}\right)=\mathrm{0,65}$

$\mathrm{\Phi }(z_1)=\mathrm{0,65}\Rightarrow z_1\approx \mathrm{0,39}\Rightarrow {\displaystyle \frac{6-\mu }{\sigma }}=\mathrm{0,39}$

$P(Y<4)=\mathrm{0,51}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{4-\mu }{\sigma }}\right)=\mathrm{0,51}$

$\mathrm{\Phi }(z_2)=\mathrm{0,51}\Rightarrow z_2\approx \mathrm{0,03}\Rightarrow {\displaystyle \frac{4-\mu }{\sigma }}=\mathrm{0,03}$

Los dos valores tipificados son positivos, lo que ya avisa de que la media queda por debajo de 4. Resolvemos el sistema restando las dos ecuaciones, escritas sin denominadores:

$\{\begin{array}{l}6-\mu =\mathrm{0,39}\sigma \\ 4-\mu =\mathrm{0,03}\sigma \end{array}$

$2=\mathrm{0,36}\sigma \Rightarrow \sigma ={\displaystyle \frac{2}{\mathrm{0,36}}}\approx \mathrm{5,56}$

$\mu =4-\mathrm{0,03}\cdot \mathrm{5,56}=4-\mathrm{0,17}\approx \mathrm{3,83}$

Las notas de filosofía siguen aproximadamente una distribución $N(\mathrm{3,83};\mathrm{5,56})$: la media es de 3,83 puntos y la desviación típica, de 5,56 puntos, un valor muy alto que indica una dispersión enorme de las calificaciones.