Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Una compañía aérea ha observado que los pesos de las maletas de un determinado trayecto siguen una distribución normal de media 7,5 kg y desviación típica de 0,4 kg. Calcule la probabilidad de que, escogida una maleta al azar:

a) pese menos de 7,2 kg pero más de 7 kg. [4 puntos]

b) pese entre 7,8 kg y 8 kg. [3 puntos]

c) Si en un trayecto hay 90 maletas, ¿cuántas maletas es de esperar que pesen al menos 8,1 kg? [3 puntos]

Llamamos $X$ al peso de una maleta, en kilogramos.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(\mathrm{7,5};\mathrm{0,4})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{pese}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{7,2}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{pero}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{7}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo para poder usar la tabla de la normal.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mathrm{7,5}}{\mathrm{0,4}}}\sim N(0,1)$

$P(7<X<\mathrm{7,2})=P({\displaystyle \frac{7-\mathrm{7,5}}{\mathrm{0,4}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{7,2}-\mathrm{7,5}}{\mathrm{0,4}}})=P(-\mathrm{1,25}<Z<-\mathrm{0,75})$

Los dos valores son negativos, así que llevamos el intervalo al semieje positivo usando la simetría de la campana:

$P(-\mathrm{1,25}<Z<-\mathrm{0,75})=P(\mathrm{0,75}<Z<\mathrm{1,25})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,25})-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,75})$

$=\mathrm{0,8944}-\mathrm{0,7734}=\mathrm{0,1210}$

La probabilidad de que una maleta pese entre 7 y 7,2 kg es $\mathrm{0,1210}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{pese}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{7,8}}\mathbf{\text{kg}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{kg.}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Procedemos igual, tipificando los dos extremos.

$P(\mathrm{7,8}<X<8)=P({\displaystyle \frac{\mathrm{7,8}-\mathrm{7,5}}{\mathrm{0,4}}}<Z<{\displaystyle \frac{8-\mathrm{7,5}}{\mathrm{0,4}}})=P(\mathrm{0,75}<Z<\mathrm{1,25})$

$=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,25})-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,75})=\mathrm{0,8944}-\mathrm{0,7734}=\mathrm{0,1210}$

La probabilidad es $\mathrm{0,1210}$, la misma que en el apartado anterior: los dos intervalos son simétricos respecto de la media, y la campana también lo es.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{trayecto}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{maletas,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntas}}\mathbf{\text{maletas}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esperar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{pesen}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{8,1}}\mathbf{\text{kg?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Calculamos primero la probabilidad de que una maleta supere ese peso y después la multiplicamos por el número de maletas.

$P(X\ge \mathrm{8,1})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{8,1}-\mathrm{7,5}}{\mathrm{0,4}}})=P(Z\ge \mathrm{1,5})$

$P(Z\ge \mathrm{1,5})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,5})=1-\mathrm{0,9332}=\mathrm{0,0668}$

$90\cdot \mathrm{0,0668}=\mathrm{6,012}$

Es de esperar que unas 6 maletas de las 90 pesen al menos 8,1 kg.