Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

El peso de un grupo de personas sigue una distribución normal de media 54,3 kg y desviación típica de 6,5 kg.

a) ¿Cuál es el porcentaje de personas con peso superior a 57 kg? [3 puntos]

b) ¿Qué porcentaje de personas pesan entre 50 y 57 kg? [4 puntos]

c) Si se escoge una persona al azar que está dentro del 70 % de las personas que menos pesan, ¿cuántos kilos habría de pesar como máximo? [3 puntos]

Llamamos $X$ al peso de una persona del grupo, en kilogramos.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(\mathrm{54,3};\mathrm{6,5})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{superior}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{57}}\mathbf{\text{kg?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tipificamos y pasamos al complementario, porque la tabla da probabilidades acumuladas por la izquierda.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mathrm{54,3}}{\mathrm{6,5}}}\sim N(0,1)$

$P(X>57)=P(Z>{\displaystyle \frac{57-\mathrm{54,3}}{\mathrm{6,5}}})=P(Z>\mathrm{0,42})$

$P(Z>\mathrm{0,42})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,42})=1-\mathrm{0,6628}=\mathrm{0,3372}$

El $\mathrm{33,72}\mathrm{\%}$ de las personas pesa más de 57 kg.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{pesan}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{50}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{57}}\mathbf{\text{kg?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tipificamos los dos extremos y restamos las probabilidades acumuladas.

$P(50<X<57)=P({\displaystyle \frac{50-\mathrm{54,3}}{\mathrm{6,5}}}<Z<{\displaystyle \frac{57-\mathrm{54,3}}{\mathrm{6,5}}})=P(-\mathrm{0,66}<Z<\mathrm{0,42})$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,66})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,66})=1-\mathrm{0,7454}=\mathrm{0,2546}$

$P(-\mathrm{0,66}<Z<\mathrm{0,42})=\mathrm{0,6628}-\mathrm{0,2546}=\mathrm{0,4082}$

El $\mathrm{40,82}\mathrm{\%}$ de las personas pesa entre 50 y 57 kg.



$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{escoge}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{persona}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{est}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{dentro}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{70}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{personas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{pesan,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{kilos}}\mathbf{\text{habr}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{pesar}}\mathbf{\text{como}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ximo?}}\mathbf{\text{[3}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se busca el valor que deja por debajo el 70 % de la población, es decir, el problema inverso: se conoce la probabilidad y se busca el peso.

$P(X<k)=\mathrm{0,70}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{k-\mathrm{54,3}}{\mathrm{6,5}}}\right)=\mathrm{0,70}$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja acumulado $\mathrm{0,70}$:

$\mathrm{\Phi }(z_0)=\mathrm{0,70}\Rightarrow z_0\approx \mathrm{0,52}$

${\displaystyle \frac{k-\mathrm{54,3}}{\mathrm{6,5}}}=\mathrm{0,52}\Rightarrow k=\mathrm{54,3}+\mathrm{0,52}\cdot \mathrm{6,5}=\mathrm{54,3}+\mathrm{3,38}$

$k=\mathrm{57,68}$

Una persona del $70\mathrm{\%}$ que menos pesa habría de pesar como máximo $\mathrm{57,68}\text{ kg}$.