Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

Los relojes de cierta marca tienen una vida útil que se ajusta a una distribución normal de media 10 años y desviación típica de 2 años. Si compramos un reloj de esta marca:

a) Calcule la probabilidad de que dure entre 9 y 12 años. [1 punto]

b) ¿Cuánto tiempo tendrá que durar el reloj si queremos que el 90 % de los relojes de esa marca duren menos que el nuestro? [1 punto]

Sea $X$ la vida útil, en años, de un reloj de esa marca. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(10;2)$

Para poder usar la tabla de la normal tipificada trabajamos con la variable

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-10}{2}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{dure}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{9}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{12}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo y buscamos el área central en la tabla.

$P(9<X<12)=P({\displaystyle \frac{9-10}{2}}<Z<{\displaystyle \frac{12-10}{2}})=P(-\mathrm{0,5}<Z<1)$

$=\mathrm{\Phi }(1)-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,5})$

La tabla solo recoge valores positivos, así que el segundo lo pasamos al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,5})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,5})=1-\mathrm{0,6915}=\mathrm{0,3085}$

$P(9<X<12)=\mathrm{0,8413}-\mathrm{0,3085}=\mathrm{0,5328}$



La probabilidad de que el reloj dure entre $9$ y $12$ años es $\mathrm{0,5328}$, es decir, un $\mathrm{53,28}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{nto}}\mathbf{\text{tiempo}}\mathbf{\text{tendr}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{durar}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{reloj}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{queremos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{90}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{relojes}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esa}}\mathbf{\text{marca}}\mathbf{\text{duren}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{nuestro?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora el dato es la probabilidad y la incógnita es el valor de la variable: buscamos el $k$ que deja a su izquierda el $90\mathrm{\%}$ del área.

$P(X<k)=\mathrm{0,90}\Rightarrow P(Z<{\displaystyle \frac{k-10}{2}})=\mathrm{0,90}$

Buscamos en el interior de la tabla el valor $\mathrm{0,90}$ y leemos la abscisa que le corresponde:

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,8997}\approx \mathrm{0,90}\Rightarrow {\displaystyle \frac{k-10}{2}}=\mathrm{1,28}$

$k=10+\mathrm{1,28}\cdot 2=\mathrm{12,56}$



El reloj tendrá que durar $\mathrm{12,56}$ años, algo más de doce años y medio, para que el $90\mathrm{\%}$ de los relojes de esa marca duren menos que él.