Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El diámetro de las cerezas picotas del Jerte se distribuye normalmente con media 2,5 cm y desviación típica 0,2 cm.

a) Si se desea seleccionar, para su exportación, el 10 % de las más grandes, ¿a partir de qué tamaño hay que cogerlas? [1 punto]

b) Si tomamos una cereza picota del Jerte al azar, ¿qué probabilidad tiene la cereza de tener un diámetro entre 2,2 cm y 2,8 cm? [1 punto]

Sea $X$ el diámetro, en centímetros, de una cereza picota del Jerte. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(\mathrm{2,5};\mathrm{0,2})$

Para poder usar la tabla de la normal tipificada trabajamos con la variable

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-\mathrm{2,5}}{\mathrm{0,2}}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{desea}}\mathbf{\text{seleccionar,}}\mathbf{\text{para}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{exportaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{grandes,}}\mathbf{\text{¿a}}\mathbf{\text{partir}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{tama}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{hay}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{cogerlas?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Aquí el dato es la probabilidad y la incógnita es el valor de la variable: buscamos el $k$ que deja a su derecha el $10\mathrm{\%}$ del área, o lo que es lo mismo, el $90\mathrm{\%}$ a su izquierda.

$P(X>k)=\mathrm{0,10}\Rightarrow P(X<k)=\mathrm{0,90}\Rightarrow P(Z<{\displaystyle \frac{k-\mathrm{2,5}}{\mathrm{0,2}}})=\mathrm{0,90}$

Buscamos en el interior de la tabla el valor $\mathrm{0,90}$ y leemos la abscisa que le corresponde:

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,28})=\mathrm{0,8997}\approx \mathrm{0,90}\Rightarrow {\displaystyle \frac{k-\mathrm{2,5}}{\mathrm{0,2}}}=\mathrm{1,28}$

$k=\mathrm{2,5}+\mathrm{1,28}\cdot \mathrm{0,2}=\mathrm{2,756}$



Hay que seleccionar las cerezas de diámetro superior a $\mathrm{2,756}\text{ cm}$, aproximadamente $\mathrm{2,76}\text{ cm}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{tomamos}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cereza}}\mathbf{\text{picota}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{Jerte}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar,}}\mathbf{\text{¿qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{tiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{cereza}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{tener}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{di}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{metro}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{2,2}}\mathbf{\text{cm}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{2,8}}\mathbf{\text{cm?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo. Al estar ambos a la misma distancia de la media, el intervalo es simétrico y podemos usar la simetría de la campana.

$P(\mathrm{2,2}<X<\mathrm{2,8})=P({\displaystyle \frac{\mathrm{2,2}-\mathrm{2,5}}{\mathrm{0,2}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{2,8}-\mathrm{2,5}}{\mathrm{0,2}}})=P(-\mathrm{1,5}<Z<\mathrm{1,5})$

$P(-\mathrm{1,5}<Z<\mathrm{1,5})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,5})-1=2\cdot \mathrm{0,9332}-1=\mathrm{0,8664}$



La probabilidad de que una cereza tomada al azar tenga un diámetro entre $\mathrm{2,2}$ y $\mathrm{2,8}\text{ cm}$ es $\mathrm{0,8664}$, es decir, un $\mathrm{86,64}\mathrm{\%}$.