Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

La duración de un smartphone se ajusta a una normal de media 3 años y desviación típica de 1 año. El fabricante da una garantía de 3,5 años a sus smartphones.

a) Calcule la probabilidad de que un smartphone dure menos que la garantía. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un smartphone dure más de 5 años. [1 punto]

Sea $X$ la duración, en años, de un smartphone. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(3;1)$

Al ser $\sigma =1$ y $\mu =3$, la tipificación es simplemente

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}=X-3\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{smartphone}}\mathbf{\text{dure}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{garant}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{a.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

La garantía es de $\mathrm{3,5}$ años, así que tipificamos ese valor y buscamos el área que queda a su izquierda.

$P(X<\mathrm{3,5})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{3,5}-3}{1}})=P(Z<\mathrm{0,5})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,5})=\mathrm{0,6915}$



La probabilidad de que un smartphone dure menos que la garantía es $\mathrm{0,6915}$, es decir, un $\mathrm{69,15}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{smartphone}}\mathbf{\text{dure}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{a}}\widetilde{\mathbf{\text{n}}}\mathbf{\text{os.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Ahora nos piden el área de la cola derecha, que obtenemos restando de uno la que acumula la tabla.

$P(X>5)=P(Z>{\displaystyle \frac{5-3}{1}})=P(Z>2)=1-\mathrm{\Phi }(2)$

$=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$



La probabilidad de que un smartphone dure más de cinco años es $\mathrm{0,0228}$, es decir, apenas un $\mathrm{2,28}\mathrm{\%}$.