Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

El radio de un pistón se distribuye según una distribución normal de media 5 cm y desviación típica de 0,01 cm.

a) Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio mayor que 5,01 cm. [1 punto]

b) Calcule la probabilidad de que un pistón tenga un radio entre 4,98 y 5 cm. [1 punto]

Sea $X$ el radio, en centímetros, de un pistón. Según el enunciado:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(5;\mathrm{0,01})$

Para poder usar la tabla de la normal tipificada trabajamos con la variable

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-5}{\mathrm{0,01}}}\sim N(0,1)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pist}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{5,01}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tipificamos el valor y pasamos al área de la cola derecha, que es lo que queda al restar de uno la que acumula la tabla.

$P(X>\mathrm{5,01})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{5,01}-5}{\mathrm{0,01}}})=P(Z>1)=1-\mathrm{\Phi }(1)$

$=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$



La probabilidad de que un pistón tenga un radio mayor que $\mathrm{5,01}\text{ cm}$ es $\mathrm{0,1587}$, es decir, un $\mathrm{15,87}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{pist}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{radio}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{4,98}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{cm.}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Tipificamos los dos extremos. El intervalo va desde un valor por debajo de la media hasta la media misma, así que usamos la simetría de la campana para llevarlo al semieje positivo.

$P(\mathrm{4,98}<X<5)=P({\displaystyle \frac{\mathrm{4,98}-5}{\mathrm{0,01}}}<Z<0)=P(-2<Z<0)$

$P(-2<Z<0)=P(0<Z<2)=\mathrm{\Phi }(2)-\mathrm{\Phi }(0)=\mathrm{0,9772}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,4772}$



La probabilidad de que un pistón tenga un radio entre $\mathrm{4,98}$ y $5\text{ cm}$ es $\mathrm{0,4772}$, es decir, un $\mathrm{47,72}\mathrm{\%}$.