Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

El peso de los recién nacidos de una localidad sigue una distribución normal de media 3300 gramos y desviación típica 465 gramos. Un recién nacido tiene bajo peso si su peso es inferior a 2500 gramos.

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga bajo peso? [1 punto]

b) ¿Cuál es la probabilidad de que un recién nacido en esta localidad tenga un peso entre 3500 y 4000 gramos? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{reci}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{nacido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{localidad}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{bajo}}\mathbf{\text{peso?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Llamamos $X$ al peso, en gramos, de un recién nacido de la localidad. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 3300 y desviación típica 465, y hay bajo peso cuando el peso no llega a 2500 gramos.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(3300;465)$

Para poder usar la tabla se tipifica la variable restando la media y dividiendo por la desviación típica.

$P(X<2500)=P(Z<{\displaystyle \frac{2500-3300}{465}})=P(Z<-\mathrm{1,72})$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que se aprovecha la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas:

$P(Z<-\mathrm{1,72})=P(Z>\mathrm{1,72})=1-P(Z\le \mathrm{1,72})=1-\mathrm{0,9573}=\mathrm{0,0427}$



La probabilidad de que un recién nacido de esta localidad tenga bajo peso es $\mathrm{0,0427}$, es decir, un $\mathrm{4,27}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{reci}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{nacido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{localidad}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{peso}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{3500}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{4000}}\mathbf{\text{gramos?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Se procede igual, tipificando los dos extremos del intervalo. El área pedida es la diferencia de las dos áreas acumuladas.

$P(3500<X<4000)=P({\displaystyle \frac{3500-3300}{465}}<Z<{\displaystyle \frac{4000-3300}{465}})=P(\mathrm{0,43}<Z<\mathrm{1,51})$

$P(\mathrm{0,43}<Z<\mathrm{1,51})=P(Z\le \mathrm{1,51})-P(Z\le \mathrm{0,43})=\mathrm{0,9345}-\mathrm{0,6664}=\mathrm{0,2681}$



La probabilidad de que un recién nacido pese entre 3500 y 4000 gramos es $\mathrm{0,2681}$, es decir, un $\mathrm{26,81}\mathrm{\%}$.