Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

El contenido total en sulfitos (medido en mg/l) del vino que se produce en una bodega sigue una distribución normal de media 150 mg/l y desviación típica 30 mg/l. La bodega se compromete a vender solamente vinos con un contenido total en sulfitos inferior a 200 mg/l, por lo que se desechan para la venta aquellos que superen esta cantidad. Se pide:

a) ¿Cuál es la probabilidad de que un vino producido en la bodega se deseche por la elevada cantidad total de sulfitos? [1 punto]

b) ¿Qué porcentaje de los vinos producidos en esta bodega tienen un contenido total en sulfitos entre 110 y 150 mg/l? [1 punto]

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{vino}}\mathbf{\text{producido}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{bodega}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{deseche}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{elevada}}\mathbf{\text{cantidad}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{sulfitos?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

Llamamos $X$ al contenido total en sulfitos, en mg/l, de un vino de la bodega. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 150 y desviación típica 30. Se desechan los vinos que superan los 200 mg/l.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(150;30)$

Para usar la tabla de la normal tipificada se resta la media y se divide por la desviación típica.

$P(X>200)=P(Z>{\displaystyle \frac{200-150}{30}})=P(Z>\mathrm{1,67})$

La tabla da el área acumulada a la izquierda, así que la cola derecha se obtiene restando de 1:

$P(Z>\mathrm{1,67})=1-P(Z\le \mathrm{1,67})=1-\mathrm{0,9525}=\mathrm{0,0475}$



La probabilidad de que un vino se deseche por exceso de sulfitos es $\mathrm{0,0475}$; se desecha, por tanto, alrededor del $\mathrm{4,75}\mathrm{\%}$ de la producción.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{vinos}}\mathbf{\text{producidos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{bodega}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{contenido}}\mathbf{\text{total}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{sulfitos}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{110}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{mg/l?}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{punto]}}$

El intervalo que se pide va desde 110 hasta la propia media, así que al tipificar queda una franja que termina justo en $z=0$.

$P(110<X<150)=P({\displaystyle \frac{110-150}{30}}<Z<{\displaystyle \frac{150-150}{30}})=P(-\mathrm{1,33}<Z<0)$

Las tablas solo recogen valores positivos, de modo que se lleva el intervalo al semieje positivo aprovechando la simetría de la campana respecto del eje de ordenadas:

$P(-\mathrm{1,33}<Z<0)=P(0<Z<\mathrm{1,33})=P(Z\le \mathrm{1,33})-P(Z\le 0)$

$=\mathrm{0,9082}-\mathrm{0,5}=\mathrm{0,4082}$



El $\mathrm{40,82}\mathrm{\%}$ de los vinos producidos en la bodega tiene un contenido total en sulfitos comprendido entre 110 y 150 mg/l.