Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

Cuestión 8.

Trabaje con 4 cifras decimales para las probabilidades y con 2 para los porcentajes.

El cociente intelectual (CI) de los estudiantes de Bachillerato de la Región de Murcia sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ desconocidas. Se sabe que el 6,68 % de estos estudiantes tiene un CI mayor que 115 y que el 59,87 % tiene un CI menor que 102,5.

a) [0,5] ¿Cuál es el porcentaje de estudiantes con CI entre 102,5 y 115?
b) [1] Si se eligen al azar 6 estudiantes, ¿cuál es la probabilidad de que al menos 5 de ellos tengan un CI menor que 115?
c) [1] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.

Sea $X$ el cociente intelectual de un estudiante de Bachillerato de la Región de Murcia, que por hipótesis sigue una distribución $N(\mu ,\sigma )$ con los dos parámetros desconocidos. Del enunciado:

$P(X>115)=\mathrm{0,0668},P(X<\mathrm{102,5})=\mathrm{0,5987}$

$P(X<115)=1-\mathrm{0,0668}=\mathrm{0,9332}$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{CI}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{102,5}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{115?}}$

La probabilidad de un intervalo es la diferencia de las dos probabilidades acumuladas, que ya conocemos sin necesidad de tipificar.

$P(\mathrm{102,5}<X<115)=P(X<115)-P(X<\mathrm{102,5})$

$=\mathrm{0,9332}-\mathrm{0,5987}=\mathrm{0,3345}$

Un $\mathrm{33,45}\mathrm{\%}$ de los estudiantes tiene un cociente intelectual comprendido entre $\mathrm{102,5}$ y $115$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{eligen}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{6}}\mathbf{\text{estudiantes,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{CI}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{115?}}$

Cada estudiante tiene un CI menor que 115 con probabilidad $p=\mathrm{0,9332}$, independientemente de los demás, así que el número de ellos que lo cumplen entre los seis elegidos sigue una binomial.

$Y\sim B(6;\mathrm{0,9332})$

$P(Y\ge 5)=P(Y=5)+P(Y=6)$

$P(Y=5)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{6}{5}\right)(\mathrm{0,9332}{)}^5(\mathrm{0,0668})=\mathrm{0,2837}$

$P(Y=6)=(\mathrm{0,9332}{)}^6=\mathrm{0,6605}$

$P(Y\ge 5)=\mathrm{0,2837}+\mathrm{0,6605}=\mathrm{0,9441}$

La probabilidad de que al menos cinco de los seis tengan un CI inferior a 115 es $\mathrm{0,9441}$.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Tipificamos y traducimos cada dato del enunciado a una ecuación, buscando en la tabla de la $N(0,1)$ el valor de $z$ que deja esa área a la izquierda.

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,5})=\mathrm{0,9332}\Rightarrow {\displaystyle \frac{115-\mu }{\sigma }}=\mathrm{1,5}$

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,25})=\mathrm{0,5987}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{102,5}-\mu }{\sigma }}=\mathrm{0,25}$

Restamos las dos ecuaciones para eliminar la media:

$115-\mathrm{102,5}=(\mathrm{1,5}-\mathrm{0,25})\sigma \Rightarrow \mathrm{12,5}=\mathrm{1,25}\sigma$

$\sigma =10$

$115-\mu =\mathrm{1,5}\cdot 10=15\Rightarrow \mu =100$

El cociente intelectual de estos estudiantes se distribuye según una $N(100,10)$: media 100 y desviación típica 10.