Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

8. Estadística y Probabilidad:
El grosor de las planchas de acero que se producen en una cierta fábrica sigue una distribución normal de media 8 mm y desviación típica 0.5 mm. Calcule la probabilidad de que una plancha elegida al azar tenga un grosor comprendido entre 7.6 mm y 8.2 mm.

$\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{grosor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{planchas}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{acero}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{producen}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{cierta}}\mathbf{\text{f}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{brica}}\mathbf{\text{sigue}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{mm}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{0.5}}\mathbf{\text{mm.}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{plancha}}\mathbf{\text{elegida}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{grosor}}\mathbf{\text{comprendido}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{7.6}}\mathbf{\text{mm}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{8.2}}\mathbf{\text{mm.}}$

Sea $X$ el grosor, en milímetros, de una plancha elegida al azar. Del enunciado, $X\sim N(8;\mathrm{0,5})$.

Tipificamos los dos extremos del intervalo para pasar a la normal estándar $Z\sim N(0,1)$.

${\displaystyle \frac{\mathrm{7,6}-8}{\mathrm{0,5}}}={\displaystyle \frac{-\mathrm{0,4}}{\mathrm{0,5}}}=-\mathrm{0,8}{\displaystyle \frac{\mathrm{8,2}-8}{\mathrm{0,5}}}={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,5}}}=\mathrm{0,4}$

$P(\mathrm{7,6}<X<\mathrm{8,2})=P(-\mathrm{0,8}<Z<\mathrm{0,4})=P(Z\le \mathrm{0,4})-P(Z\le -\mathrm{0,8})$

La tabla solo recoge valores positivos, así que el segundo término lo obtenemos por la simetría de la campana.

$P(Z\le -\mathrm{0,8})=1-P(Z\le \mathrm{0,8})=1-\mathrm{0,7881}=\mathrm{0,2119}$

$P(\mathrm{7,6}<X<\mathrm{8,2})=\mathrm{0,6554}-\mathrm{0,2119}=\mathrm{0,4435}$

La probabilidad de que una plancha elegida al azar tenga un grosor entre 7,6 y 8,2 milímetros es de 0,4435, es decir, algo más del 44 % de la producción.