Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

8. Estadística y Probabilidad

a) Calcule el valor de $P(-2\le X\le 7)$ si $X$ sigue una distribución normal de media 1 y desviación típica 3.
b) Calcule el valor de $\alpha$ que hace que $P(\mu -\alpha \le X\le \mu +\alpha )=0.8064$ si $X$ sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica 4.

Del enunciado, $X\sim N(1,3)$. Tipificamos los dos extremos del intervalo.

${\displaystyle \frac{-2-1}{3}}=-1{\displaystyle \frac{7-1}{3}}=2$

$P(-2\le X\le 7)=P(-1\le Z\le 2)=P(Z\le 2)-P(Z\le -1)$

La tabla solo recoge valores positivos, así que el segundo término lo obtenemos por simetría.

$P(Z\le -1)=1-P(Z\le 1)=1-\mathrm{0,8413}=\mathrm{0,1587}$

$P(-2\le X\le 7)=\mathrm{0,9772}-\mathrm{0,1587}=\mathrm{0,8185}$



La probabilidad pedida es de 0,8185, es decir, algo más del 81 % de los casos.



El intervalo es simétrico respecto de la media, así que al tipificar queda centrado en el origen.

$P(\mu -\alpha \le X\le \mu +\alpha )=P(-{\displaystyle \frac{\alpha }{4}}\le Z\le {\displaystyle \frac{\alpha }{4}})=\mathrm{0,8064}$

Por la simetría de la campana, la probabilidad de un intervalo centrado se escribe con una sola cola:

$P(-{\displaystyle \frac{\alpha }{4}}\le Z\le {\displaystyle \frac{\alpha }{4}})=2P(Z\le {\displaystyle \frac{\alpha }{4}})-1$

$2P(Z\le {\displaystyle \frac{\alpha }{4}})-1=\mathrm{0,8064}\Rightarrow P(Z\le {\displaystyle \frac{\alpha }{4}})={\displaystyle \frac{1+\mathrm{0,8064}}{2}}=\mathrm{0,9032}$

Buscando ese valor en la tabla, $P(Z\le \mathrm{1,30})=\mathrm{0,9032}$, de donde:

${\displaystyle \frac{\alpha }{4}}=\mathrm{1,30}\Rightarrow \alpha =\mathrm{5,2}$

El valor buscado es $\alpha =\mathrm{5,2}$, es decir, 1,3 desviaciones típicas a cada lado de la media.