Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

Ejercicio A5
Una máquina produce recipientes cuyas capacidades se distribuyen según una distribución normal $N(10;\mathrm{0,1})$. Un fabricante considera que un recipiente es defectuoso si su capacidad no está entre 9,8 y 10,1. Calcular:

a) La probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso.
b) Si se han fabricado 1500 recipientes, ¿cuántos se esperan defectuosos?

Llamamos $X$ a la capacidad de un recipiente. Según el enunciado se distribuye de forma normal:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(10;\mathrm{0,1})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{Calcular}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{recipiente}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{considerado}}\mathbf{\text{defectuoso.}}$

Un recipiente es correcto cuando su capacidad cae dentro del intervalo dado, así que lo más cómodo es calcular primero esa probabilidad y pasar después al suceso contrario. Obsérvese que el intervalo no es simétrico respecto de la media: se extiende dos desviaciones típicas hacia abajo y solo una hacia arriba.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-10}{\mathrm{0,1}}}\sim N(0,1)$

$P(\mathrm{9,8}<X<\mathrm{10,1})=P({\displaystyle \frac{\mathrm{9,8}-10}{\mathrm{0,1}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{10,1}-10}{\mathrm{0,1}}})$

$=P(-2<Z<1)=\mathrm{\Phi }(1)-\mathrm{\Phi }(-2)$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo por simetría:

$\mathrm{\Phi }(-2)=1-\mathrm{\Phi }(2)=1-\mathrm{0,9772}=\mathrm{0,0228}$

$P(\mathrm{9,8}<X<\mathrm{10,1})=\mathrm{0,8413}-\mathrm{0,0228}=\mathrm{0,8185}$

Ser defectuoso es el suceso contrario:

$P(\text{defectuoso})=1-\mathrm{0,8185}=\mathrm{0,1815}$

La probabilidad de que un recipiente sea considerado defectuoso es $\mathrm{0,1815}$, es decir, un $\mathrm{18,15}\mathrm{\%}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{han}}\mathbf{\text{fabricado}}\mathbf{\text{1500}}\mathbf{\text{recipientes,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ntos}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{esperan}}\mathbf{\text{defectuosos?}}$

El número esperado se obtiene multiplicando la probabilidad por el total fabricado.

$N=1500\cdot \mathrm{0,1815}=\mathrm{272,25}$

Cabe esperar unos $272$ recipientes defectuosos de los $1500$ fabricados.