Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

Ejercicio B5
Tras la realización de un estudio, se ha llegado a la conclusión de que el tiempo medio que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar es de 45 segundos, con una desviación típica de 7,3 segundos, ajustándose los datos a una distribución normal.

(a) (1 p) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta más de 57 segundos.
(b) (1,5 p) Calcula el porcentaje de adultos que aguanta entre 39 y 57 segundos.

Llamamos $X$ al tiempo, en segundos, que un adulto aguanta bajo el agua sin respirar. Según el enunciado se distribuye de forma normal:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(45;\mathrm{7,3})$

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(1}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aguanta}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{57}}\mathbf{\text{segundos.}}$

Tipificamos para poder usar la tabla de la normal estándar.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-45}{\mathrm{7,3}}}\sim N(0,1)$

$P(X>57)=P(Z>{\displaystyle \frac{57-45}{\mathrm{7,3}}})=P(Z>\mathrm{1,64})$

La tabla da la probabilidad acumulada, así que pasamos al suceso contrario:

$P(Z>\mathrm{1,64})=1-P(Z\le \mathrm{1,64})=1-\mathrm{0,9495}=\mathrm{0,0505}$

El $\mathrm{5,05}\mathrm{\%}$ de los adultos aguanta más de $57$ segundos.

$\mathbf{\text{(b)}}\mathbf{\text{(1,5}}\mathbf{\text{p)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{adultos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{aguanta}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{39}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{57}}\mathbf{\text{segundos.}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo.

$P(39<X<57)=P({\displaystyle \frac{39-45}{\mathrm{7,3}}}<Z<{\displaystyle \frac{57-45}{\mathrm{7,3}}})=P(-\mathrm{0,82}<Z<\mathrm{1,64})$

$=P(Z<\mathrm{1,64})-P(Z<-\mathrm{0,82})$

El extremo negativo no está en la tabla, así que se lleva al semieje positivo por simetría:

$P(Z<-\mathrm{0,82})=1-P(Z<\mathrm{0,82})=1-\mathrm{0,7939}=\mathrm{0,2061}$

$P(39<X<57)=\mathrm{0,9495}-\mathrm{0,2061}=\mathrm{0,7434}$

El $\mathrm{74,34}\mathrm{\%}$ de los adultos aguanta entre $39$ y $57$ segundos.