Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2021

Cuestión 8.

En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades.

La velocidad de los vehículos en una autopista con límite de velocidad de 120 km/h sigue una distribución normal de media $\mu$ km/h y desviación típica $\sigma =10$ km/h. Se sabe que el 69,15% de los vehículos no sobrepasan la velocidad de 130 km/h.

a) [0,75 p.] Calcule la media de esta distribución.

b) [0,75 p.] ¿Cuál es el porcentaje de vehículos que no sobrepasan la velocidad máxima permitida?

c) [1 p.] La DGT establece una multa de 100 euros a los vehículos que viajan entre 120 y 150 km/h ¿Cuál es la probabilidad de ser sancionado con dicha multa?

Sea $X$ la velocidad en kilómetros por hora de un vehículo, con $X\sim N(\mu ,10)$.

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

El dato del enunciado es que el $\mathrm{69,15}\mathrm{\%}$ no supera los 130 km/h. Tipificamos y buscamos en la tabla el valor de $z$ que deja esa área a su izquierda.

$P(X\le 130)=\mathrm{0,6915}\Rightarrow \mathrm{\Phi }\left({\displaystyle \frac{130-\mu }{10}}\right)=\mathrm{0,6915}$

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,5})=\mathrm{0,6915}\Rightarrow {\displaystyle \frac{130-\mu }{10}}=\mathrm{0,5}$

$\mu =125\text{ km/h}$

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[0,75}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{no}}\mathbf{\text{sobrepasan}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{xima}}\mathbf{\text{permitida?}}$

El límite es de 120 km/h, así que tipificamos ese valor con los parámetros ya conocidos.

$P(X\le 120)=P(Z\le {\displaystyle \frac{120-125}{10}})=P(Z\le -\mathrm{0,5})$

Por la simetría de la campana:

$P(Z\le -\mathrm{0,5})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,5})=1-\mathrm{0,6915}=\mathrm{0,3085}$

Solo un $\mathrm{30,85}\mathrm{\%}$ de los vehículos respeta el límite: la media de la autopista está ya por encima de lo permitido.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{La}}\mathbf{\text{DGT}}\mathbf{\text{establece}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{multa}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{100}}\mathbf{\text{euros}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{veh}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{culos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{viajan}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{120}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{150}}\mathbf{\text{km/h.}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ser}}\mathbf{\text{sancionado}}\mathbf{\text{con}}\mathbf{\text{dicha}}\mathbf{\text{multa?}}$

Tipificamos los dos extremos del intervalo y restamos las áreas acumuladas.

$P(120<X<150)=P(-\mathrm{0,5}<Z<\mathrm{2,5})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,5})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{0,5})$

$=\mathrm{0,9938}-\mathrm{0,3085}=\mathrm{0,6853}$

La probabilidad de ser sancionado con esa multa es $\mathrm{0,6853}$: casi siete de cada diez vehículos circulan dentro de esa franja.