Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

PRIMER EJERCICIO (2 puntos).
Se considera un gas ideal clásico en equilibrio térmico a temperatura $T$. El sistema viene descrito por la estadística de Maxwell-Boltzmann. A pesar de que el módulo de la velocidad de las moléculas del gas no es gaussiano, cada componente cartesiana de la velocidad sí lo es. Teniendo en cuenta la primera componente de la velocidad, su distribución normal es $N(0,\sqrt{{\displaystyle \frac{k_{B}T}{m}}})$, siendo $k_B$ la constante de Boltzmann y $m$ la masa de una molécula del gas considerado. En el caso del nitrógeno a $T=300$ K, la desviación típica es $\sqrt{{\displaystyle \frac{k_{B}T}{m}}}=298$ m/s.

(a) (0,75 puntos) Calcula la probabilidad de que el valor absoluto de la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno a una temperatura de 300 K sea inferior a 300 m/s.
(b) (0,75 puntos) Calcula la probabilidad de que la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno a una temperatura de 300 K esté comprendida entre -600 m/s y -300 m/s.
(c) (0,5 puntos) Un investigador estudia otro gas, argón, cuyas moléculas tienen mayor masa que las del nitrógeno y, por tanto, si se mantiene la temperatura $T$, la desviación típica correspondiente es menor. Sin realizar ningún cálculo numérico, responde razonadamente: ¿la probabilidad de que la primera componente de la velocidad de una molécula de argón tenga valor absoluto menor que 300 m/s será mayor, menor o igual que en el caso de una molécula de nitrógeno? Justifica tu respuesta utilizando la expresión de la desviación típica, $\sigma =\sqrt{{\displaystyle \frac{k_{B}T}{m}}}$.

Llamamos $X$ a la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno a $T=300$ K. Según el enunciado se distribuye de forma normal con media nula y desviación típica $298\text{ m/s}$:

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(0,298)$

$\mathbf{\text{(a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Calcula}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{absoluto}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{componente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mol}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nitr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{geno}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{300}}\mathbf{\text{K}}\mathbf{\text{sea}}\mathbf{\text{inferior}}\mathbf{\text{a}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">300</mn><mtext> m/s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{.}}$

Que el valor absoluto de la velocidad sea inferior a $300\text{ m/s}$ equivale a que la propia velocidad esté comprendida entre $-300$ y $300$. Para poder usar la tabla de la normal tipificamos la variable.

$P(\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }<300)=P(-300<X<300)$

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X}{298}}\sim N(0,1)$

$P(-300<X<300)=P({\displaystyle \frac{-300}{298}}<Z<{\displaystyle \frac{300}{298}})=P(-\mathrm{1,01}<Z<\mathrm{1,01})$

Por la simetría de la normal tipificada respecto del eje de ordenadas, el área central se obtiene como:

$P(-\mathrm{1,01}<Z<\mathrm{1,01})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,01})-1$

$=2\cdot \mathrm{0,8438}-1=\mathrm{0,6876}$

La probabilidad de que el módulo de la primera componente de la velocidad de una molécula de nitrógeno sea inferior a $300\text{ m/s}$ es $\mathrm{0,6876}$, es decir, un $\mathrm{68,76}\mathrm{\%}$.





Se procede igual que en el apartado anterior, tipificando los dos extremos del intervalo.

$P(-600<X<-300)=P({\displaystyle \frac{-600}{298}}<Z<{\displaystyle \frac{-300}{298}})=P(-\mathrm{2,01}<Z<-\mathrm{1,01})$

Las tablas de la $N(0,1)$ solo recogen valores positivos, así que se lleva el intervalo al semieje positivo usando de nuevo la simetría de la campana:

$P(-\mathrm{2,01}<Z<-\mathrm{1,01})=P(\mathrm{1,01}<Z<\mathrm{2,01})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,01})-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,01})$

$=\mathrm{0,9778}-\mathrm{0,8438}=\mathrm{0,1340}$

La probabilidad de que la primera componente de la velocidad esté comprendida entre $-600\text{ m/s}$ y $-300\text{ m/s}$ es $\mathrm{0,1340}$, es decir, un $\mathrm{13,40}\mathrm{\%}$.



$\mathbf{\text{(c)}}\mathbf{\text{(0,5}}\mathbf{\text{puntos)}}\mathbf{\text{Un}}\mathbf{\text{investigador}}\mathbf{\text{estudia}}\mathbf{\text{otro}}\mathbf{\text{gas,}}\mathbf{\text{arg}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n,}}\mathbf{\text{cuyas}}\mathbf{\text{mol}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{culas}}\mathbf{\text{tienen}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{masa}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{del}}\mathbf{\text{nitr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{geno}}\mathbf{\text{y,}}\mathbf{\text{por}}\mathbf{\text{tanto,}}\mathbf{\text{si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{mantiene}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{temperatura}}\mathit{T}\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{correspondiente}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{menor.}}\mathbf{\text{Sin}}\mathbf{\text{realizar}}\mathbf{\text{ning}}\acute{\mathbf{\text{u}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{c}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{lculo}}\mathbf{\text{num}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{rico,}}\mathbf{\text{responde}}\mathbf{\text{razonadamente:}}\mathbf{\text{¿la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{primera}}\mathbf{\text{componente}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{velocidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mol}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{arg}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{tenga}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{absoluto}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{que}}\mathrm{<mrow><mn\; mathvariant="bold">300</mn><mtext> m/s</mtext></mrow>}\mathbf{\text{ser}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{mayor,}}\mathbf{\text{menor}}\mathbf{\text{o}}\mathbf{\text{igual}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{caso}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{una}}\mathbf{\text{mol}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{cula}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{nitr}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{geno?}}$

Basta razonar sobre la expresión general de la probabilidad del apartado (a), dejando la desviación típica como parámetro. Repitiendo la tipificación con un $\sigma$ cualquiera:

$P(\mathrm{\mid }X\mathrm{\mid }<300)=2\mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{300}{\sigma }}\right)-1$

Como el argón tiene mayor masa molecular que el nitrógeno y la temperatura no cambia, de $\sigma =\sqrt{{\displaystyle \frac{k_{B}T}{m}}}$ se deduce:

$m_{\text{Ar}}>m_{{\text{N}}_2}\Rightarrow {\sigma }_{\text{Ar}}<{\sigma }_{{\text{N}}_2}$

${\sigma }_{\text{Ar}}<{\sigma }_{{\text{N}}_2}\Rightarrow {\displaystyle \frac{300}{{\sigma }_{\text{Ar}}}}>{\displaystyle \frac{300}{{\sigma }_{{\text{N}}_2}}}$

La función de distribución $\mathrm{\Phi }$ es creciente, de modo que a un valor tipificado mayor le corresponde un área acumulada mayor:

$2\mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{300}{{\sigma }_{\text{Ar}}}}\right)-1>2\mathrm{\Phi }\text{\hspace{0.17em}⁣}\left({\displaystyle \frac{300}{{\sigma }_{{\text{N}}_2}}}\right)-1$

Gráficamente, una desviación típica menor estrecha la campana en torno a la media, con lo que una franja fija como $(-300,300)$ recoge una proporción mayor del área total.

La probabilidad será mayor en el caso del argón que en el del nitrógeno.