Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2026

Pregunta 5: Sentido estocástico (2 puntos)

Opción 5.2. Una fábrica produce bombillas y se sabe que el 5 % son defectuosas.

a) (0,75 ptos.) Calcule la probabilidad de que en 9 bombillas escogidas al azar haya exactamente 3 bombillas defectuosas.

b) (1,25 ptos.) Calcule la probabilidad de que en 200 bombillas escogidas al azar haya al menos 10 bombillas defectuosas.

Llamamos $X$ al número de bombillas defectuosas de una muestra de tamaño $n$. Cada bombilla es defectuosa o no lo es, con probabilidad constante $p=\mathrm{0,05}$ e independientemente de las demás, así que $X$ sigue una distribución binomial.

$X\sim B(n;\mathrm{0,05})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{(0,75}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{9}}\mathbf{\text{bombillas}}\mathbf{\text{escogidas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{bombillas}}\mathbf{\text{defectuosas.}}$

Con $n=9$ la variable es $X\sim B(9;\mathrm{0,05})$ y basta aplicar la función de probabilidad de la binomial.

$P(X=k)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{n}{k}\right)p^k(1-p{)}^{n-k}$

$P(X=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{3}\right)(\mathrm{0,05}{)}^3(\mathrm{0,95}{)}^6$

$\left(\genfrac{}{}{0px}{}{9}{3}\right)={\displaystyle \frac{9!}{3!6!}}=84$

$P(X=3)=84\cdot \mathrm{0,000125}\cdot \mathrm{0,735092}=\mathrm{0,0077}$

La probabilidad de encontrar exactamente tres bombillas defectuosas entre nueve es $\mathrm{0,0077}$, apenas un $\mathrm{0,77}\mathrm{\%}$.

$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{(1,25}}\mathbf{\text{ptos.)}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{200}}\mathbf{\text{bombillas}}\mathbf{\text{escogidas}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{haya}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{10}}\mathbf{\text{bombillas}}\mathbf{\text{defectuosas.}}$

Ahora $X\sim B(200;\mathrm{0,05})$ y sumar las ramas de la binomial sería inabordable, así que la aproximamos por una normal. La aproximación es válida porque

$np=200\cdot \mathrm{0,05}=10>5,n(1-p)=200\cdot \mathrm{0,95}=190>5$

Los parámetros de la normal son la media y la desviación típica de la binomial:

$\mu =np=10,\sigma =\sqrt{np(1-p)}=\sqrt{\mathrm{9,5}}\approx \mathrm{3,08}$

$X\approx Y\sim N(10;\mathrm{3,08})$

Al pasar de una variable discreta a una continua aplicamos la corrección de continuidad: "al menos 10" incluye el valor 10, de modo que el corte se sitúa medio punto por debajo.

$P(X\ge 10)\approx P(Y\ge \mathrm{9,5})$

Tipificamos y usamos la tabla de la $N(0,1)$, apoyándonos en la simetría de la campana:

$Z={\displaystyle \frac{Y-\mu }{\sigma }}\Rightarrow P(Y\ge \mathrm{9,5})=P(Z\ge {\displaystyle \frac{\mathrm{9,5}-10}{\mathrm{3,08}}})=P(Z\ge -\mathrm{0,16})$

$P(Z\ge -\mathrm{0,16})=P(Z\le \mathrm{0,16})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,16})=\mathrm{0,5636}$

La probabilidad de que haya al menos diez bombillas defectuosas entre las doscientas es $\mathrm{0,5636}$, es decir, un $\mathrm{56,36}\mathrm{\%}$.