Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

El peso, en gramos, de las judías en lata se distribuye normalmente con media $\mu$ y desviación típica 7,8. Dado que el 10 % de estas latas contienen menos de 200 g, calcule:

a) El valor de la media $\mu$, redondeándola a las unidades. [6 puntos]

b) El porcentaje de latas que contienen más de 225 g de judías. Nota: emplee la media redondeada a las unidades. [2 puntos]

c) El porcentaje de latas que contienen entre 190 g y 225 g de judías. Nota: emplee la media redondeada a las unidades. [2 puntos]

Llamamos $X$ al peso, en gramos, de las judías de una lata. Sigue una distribución normal de media desconocida y desviación típica 7,8.

$X\sim N(\mu ;\mathrm{7,8})$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{valor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathit{\mu }\mathbf{\text{,}}\mathbf{\text{redonde}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{ndola}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{unidades.}}\mathbf{\text{[6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Este es el problema inverso al habitual: se conoce la probabilidad y se busca el valor de la variable. Tipificamos y usamos la tabla al revés.

$P(X<200)=\mathrm{0,10}$

$P(Z<{\displaystyle \frac{200-\mu }{\mathrm{7,8}}})=\mathrm{0,10}$

Como la probabilidad acumulada es menor que $\mathrm{0,5}$, el valor tipificado es negativo. Buscamos en la tabla el valor positivo que deja acumulado $\mathrm{0,90}$ y le cambiamos el signo:

$\mathrm{\Phi }(z_0)=\mathrm{0,90}\Rightarrow z_0\approx \mathrm{1,28}\Rightarrow {\displaystyle \frac{200-\mu }{\mathrm{7,8}}}=-\mathrm{1,28}$

$200-\mu =-\mathrm{9,984}\Rightarrow \mu =\mathrm{209,984}\approx 210$

La media del peso de las latas es de $210\text{ g}$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{latas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contienen}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{225}}\mathbf{\text{g}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{jud}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{Nota:}}\mathbf{\text{emplee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{redondeada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{unidades.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Con la media ya conocida tipificamos el valor 225 y pasamos al complementario, porque la tabla da probabilidades acumuladas por la izquierda.

$P(X>225)=P(Z>{\displaystyle \frac{225-210}{\mathrm{7,8}}})=P(Z>\mathrm{1,92})$

$P(Z>\mathrm{1,92})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,92})=1-\mathrm{0,9726}=\mathrm{0,0274}$

Aproximadamente el $\mathrm{2,74}\mathrm{\%}$ de las latas contienen más de 225 g de judías.

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{El}}\mathbf{\text{porcentaje}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{latas}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{contienen}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{190}}\mathbf{\text{g}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{225}}\mathbf{\text{g}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{jud}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as.}}\mathbf{\text{Nota:}}\mathbf{\text{emplee}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{redondeada}}\mathbf{\text{a}}\mathbf{\text{las}}\mathbf{\text{unidades.}}\mathbf{\text{[2}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Tipificamos ahora los dos extremos del intervalo y restamos las probabilidades acumuladas.

$P(190<X<225)=P({\displaystyle \frac{190-210}{\mathrm{7,8}}}<Z<{\displaystyle \frac{225-210}{\mathrm{7,8}}})$

$=P(-\mathrm{2,56}<Z<\mathrm{1,92})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,92})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{2,56})$

El extremo negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\mathrm{\Phi }(-\mathrm{2,56})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{2,56})=1-\mathrm{0,9948}=\mathrm{0,0052}$

$P(190<X<225)=\mathrm{0,9726}-\mathrm{0,0052}=\mathrm{0,9674}$

Aproximadamente el $\mathrm{96,74}\mathrm{\%}$ de las latas contienen entre 190 g y 225 g de judías.