Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2023

El peso de los recién nacidos sigue una distribución normal de media $\mu =\mathrm{3,1}$ kg y desviación típica $\sigma$ desconocida. Se sabe que solo el 30,5 % de los recién nacidos pesa más de 3,8 kg. Calcule, redondeando los resultados a 4 decimales:

a) ¿Cuál es la desviación típica? [4 puntos]

b) Suponiendo que $\sigma =\mathrm{1,3725}$, ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,7 kg? [3 puntos]

c) Suponiendo que $\sigma =\mathrm{1,3725}$, ¿cuál es la probabilidad de que un recién nacido pese entre 2,7 y 3,5 kg? [3 puntos]

Llamamos $X$ al peso, en kilogramos, de un recién nacido.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(\mathrm{3,1};\sigma )$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Es un problema inverso: se conoce la probabilidad y se busca el parámetro. Tipificamos dejando $\sigma$ como incógnita y pasamos al complementario para poder usar la tabla.

$P(X>\mathrm{3,8})=\mathrm{0,305}\Rightarrow P(X<\mathrm{3,8})=1-\mathrm{0,305}=\mathrm{0,695}$

$P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{3,8}-\mathrm{3,1}}{\sigma }})=\mathrm{0,695}$

Buscamos en la tabla el valor tipificado que deja acumulado $\mathrm{0,695}$:

$\mathrm{\Phi }(z_0)=\mathrm{0,695}\Rightarrow z_0\approx \mathrm{0,51}$

${\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}}{\sigma }}=\mathrm{0,51}\Rightarrow \sigma ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,7}}{\mathrm{0,51}}}=\mathrm{1,3725}$

La desviación típica es $\sigma \approx \mathrm{1,3725}\text{ kg}$.





Tipificamos el valor 2,7 y usamos la simetría de la campana, ya que el valor tipificado sale negativo.

$P(X<\mathrm{2,7})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{2,7}-\mathrm{3,1}}{\mathrm{1,3725}}})=P(Z<-\mathrm{0,29})$

$P(Z<-\mathrm{0,29})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,29})=1-\mathrm{0,6141}=\mathrm{0,3859}$

La probabilidad de que un recién nacido pese menos de 2,7 kg es $\mathrm{0,3859}$.



Tipificamos los dos extremos. Como 2,7 y 3,5 están a la misma distancia de la media, los valores tipificados son opuestos y el intervalo queda centrado en la campana.

$P(\mathrm{2,7}<X<\mathrm{3,5})=P({\displaystyle \frac{\mathrm{2,7}-\mathrm{3,1}}{\mathrm{1,3725}}}<Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{3,5}-\mathrm{3,1}}{\mathrm{1,3725}}})$

$=P(-\mathrm{0,29}<Z<\mathrm{0,29})=2\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,29})-1$

$=2\cdot \mathrm{0,6141}-1=\mathrm{0,2282}$

La probabilidad de que un recién nacido pese entre 2,7 y 3,5 kg es $\mathrm{0,2282}$.