Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2024

La duración de los embarazos humanos desde la concepción hasta el nacimiento se aproxima a una distribución normal con una media de 266 días y una desviación típica de 16 días.

a) ¿Qué proporción de todos los embarazos durará entre 240 y 270 días (aproximadamente entre 8 y 9 meses)? [4 puntos]

b) Si nos fijamos en el 70 % de los embarazos que más duran, ¿cuál es su duración? [6 puntos]

Llamamos $X$ a la duración de un embarazo, en días. Según el enunciado sigue una distribución normal de media 266 y desviación típica 16.

$X\sim N(\mu ,\sigma )=N(266;16)$

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{¿Qu}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{proporci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{todos}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{embarazos}}\mathbf{\text{durar}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{240}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{270}}\mathbf{\text{d}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{as}}\mathbf{\text{(aproximadamente}}\mathbf{\text{entre}}\mathbf{\text{8}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{9}}\mathbf{\text{meses)?}}\mathbf{\text{[4}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Para poder usar la tabla de la normal tipificamos los dos extremos del intervalo, restando la media y dividiendo por la desviación típica.

$Z={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}={\displaystyle \frac{X-266}{16}}\sim N(0,1)$

$P(240<X<270)=P({\displaystyle \frac{240-266}{16}}<Z<{\displaystyle \frac{270-266}{16}})$

$=P(-\mathrm{1,63}<Z<\mathrm{0,25})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,25})-\mathrm{\Phi }(-\mathrm{1,63})$

Las tablas solo recogen valores positivos, así que el extremo negativo se lleva al semieje positivo por la simetría de la campana:

$\mathrm{\Phi }(-\mathrm{1,63})=1-\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,63})=1-\mathrm{0,9484}=\mathrm{0,0516}$

$P(240<X<270)=\mathrm{0,5987}-\mathrm{0,0516}=\mathrm{0,5471}$

Aproximadamente el $\mathrm{54,71}\mathrm{\%}$ de los embarazos dura entre 240 y 270 días.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{nos}}\mathbf{\text{fijamos}}\mathbf{\text{en}}\mathbf{\text{el}}\mathbf{\text{70}}\mathbf{\text{\%}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{los}}\mathbf{\text{embarazos}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{duran,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{su}}\mathbf{\text{duraci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n?}}\mathbf{\text{[6}}\mathbf{\text{puntos]}}$

Se busca el valor $k$ que deja por encima el 70 % de los embarazos, es decir, el que deja por debajo el 30 % restante. El problema es el inverso del anterior: ahora se conoce la probabilidad y se busca el valor de la variable.

$P(X>k)=\mathrm{0,70}\Rightarrow P(X<k)=\mathrm{0,30}$

$P(Z<{\displaystyle \frac{k-266}{16}})=\mathrm{0,30}$

Como la probabilidad es menor que $\mathrm{0,5}$, el valor tipificado es negativo y hay que buscar en la tabla su opuesto:

$\mathrm{\Phi }(z_0)=\mathrm{0,70}\Rightarrow z_0\approx \mathrm{0,52}\Rightarrow {\displaystyle \frac{k-266}{16}}=-\mathrm{0,52}$

$k=266-\mathrm{0,52}\cdot 16=266-\mathrm{8,32}=\mathrm{257,68}$

El 70 % de los embarazos que más duran son los que superan los 257,7 días, es decir, unos 258 días.