Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2022

Cuestión 8.

En este ejercicio trabaje con 4 decimales para las probabilidades.
El cociente intelectual (CI) de los estudiantes universitarios sigue una distribución normal de media $\mu$ y desviación típica $\sigma$ desconocidas. Se sabe que la media es igual a 10 veces la desviación típica y que el 93,32% de los estudiantes tiene un CI menor de 115.
a) [1,5 p.] Calcule la media y la desviación típica de esta distribución.
b) [1 p.] Si se eligen al azar 5 estudiantes universitarios, ¿cuál es la probabilidad de que exactamente 3 de ellos tengan un CI mayor de 115?

$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[1,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{media}}\mathbf{\text{y}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n.}}$

Sea $X$ el cociente intelectual de un estudiante universitario, con $X\sim N(\mu ,\sigma )$. El enunciado da dos condiciones, una que relaciona los parámetros y otra sobre un área.

$\mu =10\sigma ,P(X<115)=\mathrm{0,9332}$

Tipificamos y buscamos en la tabla el valor de $z$ que deja esa área a su izquierda.

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{1,5})=\mathrm{0,9332}\Rightarrow {\displaystyle \frac{115-\mu }{\sigma }}=\mathrm{1,5}$

Sustituimos la primera condición para dejar una sola incógnita:

$115-10\sigma =\mathrm{1,5}\sigma \Rightarrow 115=\mathrm{11,5}\sigma$

$\sigma =10,\mu =100$

El cociente intelectual se distribuye según una $N(100,10)$.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Si}}\mathbf{\text{se}}\mathbf{\text{eligen}}\mathbf{\text{al}}\mathbf{\text{azar}}\mathbf{\text{5}}\mathbf{\text{estudiantes}}\mathbf{\text{universitarios,}}\mathbf{\text{¿cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{exactamente}}\mathbf{\text{3}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{ellos}}\mathbf{\text{tengan}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{CI}}\mathbf{\text{mayor}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{115?}}$

La probabilidad de que un estudiante supere 115 es el suceso contrario del apartado anterior.

$p=1-\mathrm{0,9332}=\mathrm{0,0668}$

Elegimos cinco estudiantes de forma independiente, así que el número de los que superan ese valor sigue una binomial.

$Y\sim B(5;\mathrm{0,0668})$

$P(Y=3)=\left(\genfrac{}{}{0px}{}{5}{3}\right)(\mathrm{0,0668}{)}^3(\mathrm{0,9332}{)}^2=10\cdot \mathrm{0,000298}\cdot \mathrm{0,8709}$

$P(Y=3)=\mathrm{0,0026}$

La probabilidad de que exactamente tres de los cinco tengan un CI superior a 115 es $\mathrm{0,0026}$, apenas un $\mathrm{0,26}\mathrm{\%}$.