Ejercicio resuelto de Distribución normal · Matemáticas II · 2020

Cuestión 7.

El peso de los recien nacidos, medido en kilogramos (kg), sigue una distribución normal de media $\mu =2,8$ kg y desviación típica $\sigma$. Se sabe que solo el $20,05\mathrm{\%}$ de ellos pesa mas de 3 kg.

a) [0,5 p.] Cual es la probabilidad de que un recien nacido pese mas de 2,6 kg?
b) [1 p.] Calcule la desviación típica de esta distribución normal.
c) [1 p.] Cual es la probabilidad de que un recien nacido pese menos de 2,9 kg?

IMPORTANTE: Trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal.

Sea $X$ el peso en kilogramos de un recién nacido, con $X\sim N(\mathrm{2,8};\sigma )$ y desviación típica desconocida. El dato del enunciado es que el $\mathrm{20,05}\mathrm{\%}$ pesa más de 3 kg, y de ahí sale $\sigma$, que hace falta ya en el primer apartado.

$P(X>3)=\mathrm{0,2005}\Rightarrow P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\sigma }})=\mathrm{0,7995}$

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,84})=\mathrm{0,7995}\Rightarrow {\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\sigma }}=\mathrm{0,84}\Rightarrow \sigma =\mathrm{0,2381}\text{ kg}$



$\mathbf{\text{a)}}\mathbf{\text{[0,5}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{reci}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{nacido}}\mathbf{\text{pese}}\mathbf{\text{m}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{s}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2,6}}\mathbf{\text{kg?}}$

Tipificamos ese valor con la desviación típica recién obtenida.

$P(X>\mathrm{2,6})=P(Z>{\displaystyle \frac{\mathrm{2,6}-\mathrm{2,8}}{\mathrm{0,2381}}})=P(Z>-\mathrm{0,84})$

Por la simetría de la campana llevamos el valor al semieje positivo:

$P(Z>-\mathrm{0,84})=\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,84})=\mathrm{0,7995}$

Casi el $80\mathrm{\%}$ de los recién nacidos pesa más de $\mathrm{2,6}$ kilogramos.



$\mathbf{\text{b)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{Calcule}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{desviaci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{t}}\acute{\mathbf{\text{ı}}}\mathbf{\text{pica}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{esta}}\mathbf{\text{distribuci}}\acute{\mathbf{\text{o}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{normal.}}$

Es el cálculo previo que hemos hecho al principio: partiendo de $P(X>3)=\mathrm{0,2005}$ y pasando al suceso contrario para poder leer la tabla, resulta ${\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\sigma }}=\mathrm{0,84}$.

$\sigma ={\displaystyle \frac{\mathrm{0,2}}{\mathrm{0,84}}}=\mathrm{0,2381}\text{ kg}$

$\mathbf{\text{c)}}\mathbf{\text{[1}}\mathbf{\text{p.]}}\mathbf{\text{¿Cu}}\acute{\mathbf{\text{a}}}\mathbf{\text{l}}\mathbf{\text{es}}\mathbf{\text{la}}\mathbf{\text{probabilidad}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{que}}\mathbf{\text{un}}\mathbf{\text{reci}}\acute{\mathbf{\text{e}}}\mathbf{\text{n}}\mathbf{\text{nacido}}\mathbf{\text{pese}}\mathbf{\text{menos}}\mathbf{\text{de}}\mathbf{\text{2,9}}\mathbf{\text{kg?}}$

Volvemos a tipificar, ahora con un valor por encima de la media.

$P(X<\mathrm{2,9})=P(Z<{\displaystyle \frac{\mathrm{2,9}-\mathrm{2,8}}{\mathrm{0,2381}}})=P(Z<\mathrm{0,42})$

$\mathrm{\Phi }(\mathrm{0,42})=\mathrm{0,6628}$

La probabilidad de que un recién nacido pese menos de $\mathrm{2,9}$ kilogramos es $\mathrm{0,6628}$.