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Examen de Matemáticas II de Región de Murcia 2020 (convocatoria extraordinaria)

Ejercicios del examen de selectividad de Matemáticas II de Región de Murcia, convocatoria extraordinaria de 2020. Aquí hay 8 ejercicios publicados, 8 con la solución desarrollada. El enunciado completo es el del PDF oficial.

Descargar el PDF oficial del examen

Ejercicio 1: Sistemas de ecuaciones

Cuestión 1.

Considere el siguiente sistema de ecuaciones en función del parámetro

a

{\begin{cases} x + y + z = 2 \\ x - a y + a^{2} z = - 1 \\ - a x + a^{2} y - a^{3} z = 2 \end{cases}

a) [1 p.] Compruebe que el sistema nunca tiene solución única.
b) [1 p.] Determine para que valores de

a

el sistema tiene infinitas soluciones.
c) [0,5 p.] Si es posible, resuelvalo para el valor de

a = 2

Ver la solución del ejercicio 1

Ejercicio 2: Matrices

Cuestión 2.

Considere la matriz

A = (\begin{array}{cc} - 1 & - 3 \\ 1 & 2 \end{array})

.

a) [1 p.] Calcule las potencias sucesivas

A^{2}

A^{3}

A^{4}

A^{5}

A^{6}

.
b) [1 p.] Calcule

A^{2020}

.
c) [0,5 p.] Compruebe que la matriz

A

es regular (o inversible) y calcule su inversa.

Ver la solución del ejercicio 2

Ejercicio 3: Límites y continuidad

Cuestión 3.

Calcule los siguientes limites:

a) [1,25 p.]

\lim_{x \to 0} \frac{\ln (3 + x) - \ln (3 - x)}{2 x}

.
b) [1,25 p.]

\lim_{x \to + \infty} (\sqrt{x + 1} - \sqrt{x + 2})

Ver la solución del ejercicio 3

Ejercicio 4: Integrales y Áreas

Cuestión 4.

a) [2 p.] Calcule la integral indefinida

\int \ln (1 + x^{2}) d x

.
b) [0,5 p.] Calcule la integral definida

\int_{0}^{1} \ln (1 + x^{2}) d x

Ver la solución del ejercicio 4

Ejercicio 5: Rectas y Planos

Cuestión 5.

Considere los puntos

P = (5, 6, 1)

Q = (- 3, - 2, 5)

, y la recta

r : \frac{x}{1} = \frac{y - 1}{1} = \frac{z + 1}{4}

.

a) [1,5 p.] Determine el punto

R

de la recta

r

para el cual el area del triangulo

\hat{P Q R}

18 \sqrt{2}

unidades cuadradas. Observacion: hay dos puntos

R

que son solución del apartado a); basta con encontrar uno de ellos.
b) [1 p.] Calcule la ecuación de la recta que pasa por los puntos

P

Q

y compruebe que dicha recta corta perpendicularmente a la recta

r

Ver la solución del ejercicio 5

Ejercicio 6: Rectas y Planos

Cuestión 6.

Considere las rectas

r

s

dadas por las siguientes ecuaciones:

r : {\begin{cases} 5 x + 3 y = 19 \\ y - 5 z = 3 \end{cases}

s : \frac{x - 1}{- 1} = \frac{y}{1} = \frac{z - 5}{0}

.

a) [1,25 p.] Estudie la posición relativa de ambas rectas.
b) [1,25 p.] En caso de que las rectas se corten, calcule el punto de corte y el ángulo que forman. En caso de que las rectas se crucen, determine el plano que contiene a la recta

r

y es paralelo a la recta

s

Ver la solución del ejercicio 6

Ejercicio 7: Distribución normal

Cuestión 7.

El peso de los recien nacidos, medido en kilogramos (kg), sigue una distribución normal de media

μ = 2, 8

kg y desviación típica

σ

. Se sabe que solo el

20, 05 %

de ellos pesa mas de 3 kg.

a) [0,5 p.] Cual es la probabilidad de que un recien nacido pese mas de 2,6 kg?
b) [1 p.] Calcule la desviación típica de esta distribución normal.
c) [1 p.] Cual es la probabilidad de que un recien nacido pese menos de 2,9 kg?

IMPORTANTE: Trabaje con 4 decimales, redondeando el resultado al cuarto decimal.

Ver la solución del ejercicio 7

Ejercicio 8: Probabilidad

Cuestión 8.

Dos urnas A y B contienen bolas de colores con la siguiente composicion: La urna A contiene 3 bolas verdes, 4 negras y 3 rojas, y la urna B contiene 6 bolas verdes y 4 bolas negras. Ademas, se tiene un dado que tiene 2 caras marcadas con la letra A y 4 caras marcadas con la letra B. Se lanza el dado y se saca una bola al azar de la urna que indica el dado.

a) [0,75 p.] Cual es la probabilidad de que esa bola sea verde?
b) [0,75 p.] Cual es la probabilidad de que esa bola sea roja?
c) [1 p.] Si bola extraida es verde, cual es la probabilidad de que proceda de la urna B?

Ver la solución del ejercicio 8